Terminale Spécialité / Logarithmes 70 exercices corrigés

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ChingQuizz : 5 exercices disponibles pour l’evaluation par QCM : 1. Introduction E.3709 Soit f la fonction définie par sur 0 ; 1 : f ( x ) = x − 2 √ x + 1 Montrer que pour tout x appartenant à l’intervalle 0 ; 1 : f ◦ f ( x ) = x E.3877 Dans le plan munit du repère orthonormé O ; I ; J , on considère les courbes C e et C représentatives des fonctions exponentielle et logarithme: 1 Graphiquement déterminer les valeurs des deux images suivantes : exp ◦ ln (1) ; ln ◦ exp (0) 2 En utilisant la première bissectrice du plan, déterminer, si possible, la valeur des images suivantes : a exp ◦ ln (2) b exp ◦ ln (3) c exp ◦ ln ( − 1) d ln ◦ exp ( − 1) e ln ◦ exp (1) f ln ◦ exp (1 ; 5) E.3878 Résoudre les équations suivantes : a e x = 3 b e 3 x − 1 = 4 c 2 · e x = − 2 d ln( x ) = 2 e ln(2 · x +1) = 5 f ln x + 3 2 = 3 E.3879 1 a Résoudre chacune des inéquations suivantes : 3 x + 1 > 0 ; − x + 2 > 0 b Déterminer l’ensemble de définition des fonctions f et g : f ( x ) = ln(3 x +1) ; g ( x ) = ln( − x +2) 2 Déterminer l’ensemble de définition des fonctions suiv-antes : a h ( x ) = ln x 2 d j ( x ) = ln e x − 1 e k ( x ) = ln e x − e − x f ‘ ( x ) = 1 ln( x ) − 1 2. Manipulations algébriques E.3880 Exprimer chacun des nombres suivants sous la forme : a + b · ln 2 a;b ∈ R a ln(4) b ln 2 2 c ln(6) − ln 3 2 d ln 2 · e 2 e ln 2 e 3 f ln e 5 E.3881 Simplifier les expressions suivantes : a ln e 2 · x b ln 2 · e 3 x − 1 c 2 · ln x + ln x d ln( x +1) − ln( x − 1) E.6874 Établir les égalités suivantes : a ln 16 + ln 4 = 6 · ln 2 b ln 7 5 = − ln 5 7 c ln 3 2 − ln 9 8 = ln 4 3 d ln 8 ln 2 = 3 E.6875 On considère la fonction f définie par : f ( x ) = ln e x +e − x 1 Justifier que la fonction f est définie sur R . 2 Sur R , établir l’identité: f ( x )= x +ln 1+e − 2 x 3 En déduire que la fonction f est positive sur R + . E.6876 1 Que peut-on dire de l’image de deux nombres opposés par la fonction exponentielle? 2 Que peut-on dire de l’image de deux nombres inverses par la fonction logarithme? https://chingmath.fr quizzChap/787 chapExoCorrec/3709 sacados/3709 chapExoCorrec/3877 sacados/3877 -4-3-2-1234I-2-1234JOCeC chapExoCorrec/3878 sacados/3878 chapExoCorrec/3879 sacados/3879 chapExoCorrec/3880 sacados/3880 chapExoCorrec/3881 sacados/3881 chapExoCorrec/6874 sacados/6874 chapExoCorrec/6875 sacados/6875 chapExoCorrec/6876 sacados/6876
E.3882 On considère la fonction f définie par : f ( x ) = ln x + x 2 +1 + ln − x + x 2 +1 1 On considère la fonction u définie par : u ( x ) = ln − x + x 2 +1 Par une disjonction de cas, établir que la fonction u est définie sur R . 2 On admet que la fonction f est définie sur R . Établir que la fonction f est la fonction nulle. E.5174 Soit f la fonction définie sur 0 ; + ∞ par : f ( x )= x +e − x On considère la suite u n n 1 à termes positifs définie par : u 1 = 0 ; u n +1 = f ( u n ) = u n + e − u n On admet que pour tout nombre x positif, on a la relation: ln(1+ x ) x 1 En déduire que, pour tout entier naturel n non-nul : ln( n +1) ln( n ) + 1 n 2 Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul : f ln( n ) = ln( n ) + 1 n 3 Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n non-nul : ln n u n 4 En déduire la limite de la suite u n n 1 . E.4232 On considère la fonction f définie sur R par : f ( x ) = ln e x +2 · e − x La courbe ( C ) représentative de la fonction f dans un repère. On note ( d ) la droite d’équation y = x 1 Montrer que, pour tout réel x : f ( x ) = x + ln 1+2 · e − 2 · x 2 Étudier la position relative de la courbe C f et la droite ( d ) . E.10387 On considère la fonction f définie sur R ∗ + par : f ( x ) = 6 × ln(2 x ) On définit la fonction g sur R ∗ + par : g ( x ) = f (2 x ) 1 Établir que pour tout x appartenant à l’intervalle R ∗ + , on a: g ( x ) − f ( x ) = ln(64) 2 Dans un repère orthonormé, on considère les deux courbes C f et C g représentatives respectivement des fonc-tions f et g . Quelle interprétation peut-on donner de la question 1 relativement aux courbes C f et C g ? 3. Equations et inéquations de logarithmes E.3883 Pour chaque question, préciser l’ensemble de résolution de l’équation puis la résoudre : a ln(5 x +1) = ln( x − 1) b 2 · ln(3 − x ) = ln(2) c ln(3 x +1) = 5 d 3 · e 2 x − 1 = 2 e ln x 2 − ln x − 2 = 0 f e 2 x + 4 · e x − 1 = 0 E.3884 Résoudre, dans R , les deux systèmes d’équations suivants : a 2 · ln x − 3 · ln y = − 11 ln x + ln y = 2 b ln(2 · x + y ) = 0 ln( x ) + ln( y ) = 1 E.5899 1 Résoudre dans − 1 ; + ∞ , l’inéquation: ( E ): ln( x +1) ln x 2 +1 2 Résoudre dans − 3 ; 2 , l’inéquation: ( F ): ln(4 − 2 x ) < ln( x +3) E.5897 On considère l’inéquation: ( E ): ln( x +1) ln(2 − x ) 1 Donner la plus grande partie I de R sur laquelle les deux expressions ln( x +1) et ln(2 − x ) sont définies. 2 Résoudre l’inéquation ( E ) . E.3885 Déterminer l’ensemble de résolution de chacune de ces inéquations puis les résoudre : a ln( x ) > 9 b ln( x ) 1 2 c ln x 2 − 3 · ln x +1 > 0 d − ln x 2 +4 · ln x +1 0 e e 3 · x < 0 f e 2 · x − e x − 6 > 0 E.4192 Un récipient contient un gaz con-stitué de deux sortes de particules : 75 % de particules A et 25 % de particules de B . Les particules A sont radioactives et se transforment spon-tanément en particules B ; chaque particule A donne en se transformant une particule B . On note p ( t ) la proportion de particules A dans le gaz. Ainsi, à l’instant t =0 , on a p (0)=0 ; 75 . Plus généralement, si t est exprimé en années, on a: p ( t ) = 0 ; 75 · e − λ · t où – est une constante réelle. La demi-vie des particules de type A est égale à 5 730 ans. 1 Calculer – , arrondie à 10 − 5 près. 2 Au bout de combien d’années, 10 % des particules de type A se seront-elles transformées en particules de type B ? 3 Déterminer la valeur de t pour laquelle il y aura autant de particules de type A que de particules de type B (on arrondit à l’unité) . https://chingmath.fr chapExoCorrec/3882 sacados/3882 chapExoCorrec/5174 sacados/5174 chapExoCorrec/4232 sacados/4232 sacados/10387 chapExoCorrec/3883 sacados/3883 chapExoCorrec/3884 sacados/3884 chapExoCorrec/5899 sacados/5899 chapExoCorrec/5897 sacados/5897 chapExoCorrec/3885 sacados/3885 chapExoCorrec/4192 sacados/4192 Extrait France Septembre 2004
E.6254 On considère la fonction f définie sur 0 ; + ∞ par : f ( x ) = 5 · e − x − 3 · e − 2 x + x − 3 On note C f la représentation graphique de la fonction f et D la droite d’équation y = x − 3 dans un repère orthogonal du plan. On admet que la courbe C f se situe au-dessus de la droite ( D ) sur l’intervalle 0 ; + ∞ . On note M le point d’abscisse x de la courbe C f , N le point d’abscisse x de la droite D et on s’intéresse à l’évolution de la distance MN . 1 Pour tout x de l’intervalle 0 ; + ∞ , déterminer l’expression de la distance MN en fonction de x . On notera g cette fonction. 2 On note g la fonction dérivée de la fonction g sur l’intervalle 0 ; + ∞ . Pour tout x de l’intervalle 0 ; + ∞ , calculer g ( x ) . 3 Montrer que la fonction g possède un maximum sur l’intervalle 0 ; + ∞ que l’on déterminera. En donner une interprétation graphique. E.10389 Résoudre l’inéquation: ln x + 1 ln 2 x − 3) 4. Equation et inéquation de puissances E.3886 Résoudre, dans Z , les inéquations suiv-antes : a 5 n 2 b 0 ; 1 n 2 c ln 2 n < e 2 d ln 2 n − ln 3 n 2 E.5898 1 On considère la suite u n géométrique de premier terme 5 et de raison 2 3 . a Quelle est la limite de la suite u n ? b Déterminer le plus petit entier naturel n réalisant l’inégalité: u n < 0 ; 01 2 On considère la suite v n géométrique de premier terme 2 et de raison 4 5 . On note S n la somme des ( n +1) pre-miers termes de la suite v n : S n = v 0 + v 1 + · · · + v n a Justifier que la suite S n est croissante. b Exprimer la somme S n en fonction du rang n . c Justifier qu’à partir d’un certain rang, tous les termes de la suite S n appartiennent à l’intervalle 9 ; 9 ; 10 . d Déterminer le plus petit entier naturel n vérifiant S n ∈ 9 ; 9 ; 10 . E.3288 On considère la fonction f définie sur 1 ; + ∞ par : f ( x ) = 1 + 1 x 10 1 Étudier le sens de variation et la limite en + ∞ de la fonction f . 2 Montrer qu’il existe dans l’intervalle 1 ; + ∞ un unique nombre réel ¸ tel que f ( ¸ )=1 ; 9 . 3 Déterminer l’entier naturel n 0 tel que : n 0 − 1 ¸ n 0 . 4 Montrer que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 16 , on a: 1 + 1 n 10 1 ; 9 . E.5204 Une entreprise fabrique des ar-ticles. Suite à une série de contrôles, un article est détecté possédant au moins un défaut avec une probabilité de 0 ; 0494 . Un petit commerçant passe une commande d’articles à cette entreprise. Les stocks sont suffisamment grands pour que le choix de ces articles soit assimilé à un tirage successif et in-dépendant. 1 En commandant 25 articles, calculer, à 10 − 3 près, la probabilité qu’il y ait plus de 2 articles défectueux dans sa commande. 2 Il veut que sur sa commande la probabilité d’avoir au moins un article défectueux reste inférieure à 50 % . Déterminer la valeur maximale du nombre n d’articles qu’il peut commander. 5. Equations et inéquations avec changement de variables E.5846 Résoudre l’équation et l’inéquation ci-dessous : a e 2 x + 2 · e x − 3 = 0 b e 2 x + e x − 2 < 0 E.6872 Résoudre l’inéquation: 2 · e 2 · x +6 · e x − 8 < 0 https://chingmath.fr chapExoCorrec/6254 sacados/6254 sacados/10389 chapExoCorrec/3886 sacados/3886 chapExoCorrec/5898 sacados/5898 chapExoCorrec/3288 sacados/3288 chapExoCorrec/5204 sacados/5204 Extrait d'Antilles-Guyanne Juin 2003 chapExoCorrec/5846 sacados/5846 chapExoCorrec/6872 sacados/6872
E.3705 Soit f la fonction définie par la relation: f ( x ) = 2e 2 x − e x e 2 x − e x + 1 1 Déterminer l’ensemble D f de définition de la fonction f . 2 On note f la fonction dérivée de la fonction f . Montrer que la fonction f admet pour expression : f ( x ) = − e x · e 2 x − 4 · e x + 1 e 2 x − e x + 1 2 3 a Étudier le signe du polynôme x 2 − 4 x +1 . b En déduire que la fonction f admet le tableau de signes suivant : x −∞ a b + ∞ f ( x ) − 0 + 0 − On précisera les valeurs de a et de b . 4 a Déterminer la limite de f en −∞ et en + ∞ . b Dresser le tableau de variations de la fonction f . A l’aide de la calculatrice, on indiquera les valeurs de f ( a ) et de f ( b ) arrondies au centième près. E.1255 Soit f la fonction définie sur R par : f ( x )=1 − 4 · e x e 2 · x +1 On note C sa courbe représentative dans un repère orthogo-nal O ; −→ i ; −→ j . Sur le graphique ci-dessous, on a tracé la courbe C . Elle coupe l’axe des abscisses aux points A et B . L’objet de cette partie est de démontrer certaines propriétés de la fonction f que l’on peut conjecturer à partir du graphique. 1 La fonction f semble croissante sur l’intervalle 0 ; + ∞ . a Vérifier que pour tout réel x : f ( x ) = 4 · e x · e 2 · x − 1 e 2 · x + 1 2 b En déduire le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle 0 ; + ∞ 2 La droite d’équation x =0 semble être un axe de symétrie de la courbe C . Démontrer que cette conjecture est vraie. (Question hors programme 2012) 3 On désigne par a l’abscisse du point A et on pose c =e a . a Démontrer que le réel c est une solution de l’équation: x 2 − 4 · x + 1 = 0 En déduire la valeur exacte de a . b Donner le signe de f ( x ) selon les valeurs de x . E.5845 Résoudre les inéquations suivantes : a e x + 3 e x − 1 > 0 b − e 2 x − e x + 2 > 0 6. Limites E.3888 Déterminer la valeur des limites suiv-antes : a lim x ↦→ + ∞ 2 · ln x + x b lim x ↦→− 3 + ln( x +3) − 3 · x c lim x ↦→ 0 + ln( x ) − 1 x d lim x ↦→ + ∞ ln e x +1 e lim x ↦→ 0 + e − 2 · ln x +1 f lim x ↦→ + ∞ ln x 2 − x 7. Limites par croissance comparée E.3889 Déterminer les limites suivantes : a lim x ↦→ + ∞ ln x x b lim x ↦→ 0 + x · ln x c lim x ↦→ 0 ln(1+ x ) x d lim x ↦→ 0 + ln( x ) · ( x 2 + 2) e lim x ↦→ + ∞ x − 2 ln x f lim x ↦→ + ∞ x · ln 1+ 1 x https://chingmath.fr chapExoCorrec/3705 sacados/3705 chapExoCorrec/1255 sacados/1255 -4-3-2-101234-11ijBA chapExoCorrec/5845 sacados/5845 chapExoCorrec/3888 sacados/3888 chapExoCorrec/3889 sacados/3889
E.4305 Le plan est muni d’un repère or-thonormé O ; −→ i ; −→ j . On considère la fonction numérique ’ définie sur R par : ’ ( x ) = ln x 2 − 2 · x +2 − x 1 Déterminer la limite de ’ en −∞ . 2 a Montrer que, pour tout réel x strictement positif, ’ ( x ) = x · 2 · ln x x + ln 1 − 2 x + 2 x 2 x − 1 b En déduire la limite de ’ en + ∞ . 8. Dérivées E.3887 Déterminer l’expression de la fonction dérivée de chacune des fonctions suivantes : a f ( x ) = x · ln x b g ( x ) = ln x + 1 x 2 + 1 c h ( x ) = ln 1 − x d j ( x ) = ln e x − 1 E.5148 On considère la fonction f définie sur 0 ; + ∞ par : f ( x ) = x 2 · ln x La courbe ( C ) représentative de la fonction f dans le plan muni d’un repère orthonormé. 1 a Déterminer la limite de f en + ∞ . b Étudier les variations de f sur 0 ; + ∞ 2 Démontrer qu’il existe une tangente unique à la courbe C passant par O . Préciser une équation de cette tangente. Indication : Pour cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l’évaluation. 9. Dérivées et tangentes E.4230 Soit f la fonction définie sur l’intervalle 0 ; + ∞ par : f ( x ) = x · 1 − ln x 1 Justifier que la fonction f est dérivable sur 0 ; + ∞ et qu’elle admet pour dérivée la fonction f dont l’expression est : f ( x ) = − ln x 2 Soit a un nombre réel strictement positif. On considère la tangente ( T a ) au point A de la courbe C d’abscisse a . a Déterminer, en fonction du nombre réel a , les coordon-nées du point A , point d’intersection de la droite ( T a ) et de l’axe des ordonnées. b Expliciter une démarche simple pour la construction de la tangente ( T a ) . Construire sur la représentation graphique de la courbe C donnée ci-dessous, la tan-gente ( T a ) au point A placé sur la figure. https://chingmath.fr chapExoCorrec/4305 sacados/4305 chapExoCorrec/3887 sacados/3887 chapExoCorrec/5148 sacados/5148 chapExoCorrec/4230 sacados/4230 ijCaAf(a
E.1616 On considère la fonction f définie sur 0 ; + ∞ par : f ( x ) = x + ln x x On note C la courbe représentative de la fonction f dans le plan muni d’un repère orthonormé O ; −→ i ; −→ j d’unité graphique 3 cm . 1 Déterminer la limite en 0 de la fonction f . Quelle est l’interprétation graphique de ce résultat? On admet que la fonction f admet pour dérivée la fonction f dont l’expression est : f ( x ) = 1 + 1 − ln x x et que la fonction f est strictement croissante. On note ( d ) la droite d’équation y = x . 2 a Déterminer l’abscisse du point A de la courbe C en lequel la tangente ( T ) est parallèle à la droite ( d ) . b Déterminer l’équation de la tangente ( T ) . 3 À l’aide de la calculatrice, tracer les droites ( d ) et ( T ) et la courbe C . 10. Etudes de fonctions E.4971 1 On considère la fonction g définie sur R ∗ + par la relation: g ( x ) = 2 + 2 x 2 · ln x − 1 Démontrer que la fonction g est strictement positive sur R ∗ + . 2 On considère la fonction f définie sur R ∗ + par la relation: f ( x ) = x 2 + ln x 2 a Déterminer l’expression de la dérivée f , puis de la dérivée seconde f  de la fonction f . b Démontrer que la fonction f admet un unique mini-mum sur R ∗ + . E.4316 On considère la fonction g définie sur 0 ; + ∞ par : g ( x ) = ln x 2 x 1 Établir la relation: g ( x ) = 4 · ln x x 2 2 Calculer la dérivée g de la fonction g . 3 a Déterminer les limites de la fonction g en 0 et en + ∞ . b Dresser le tableau de variations de la fonction g . E.3897 Le plan est rapporté à un repère orthonormé O ; −→ i ; −→ j . On considère la fonction f définie sur l’intervalle 0 ; + ∞ par : f ( x )= − 3 − ln x +2 · ln x 2 On note C sa courbe représentative. 1 a Résoudre dans 0 ; + ∞ l’équation: f ( x )=0 . (On pourra poser: ln x = X ) . b Résoudre dans 0 ; + ∞ l’inéquation: f ( x ) > 0 . 2 a Déterminer les limites de f en 0 et en + ∞ . b Calculer f ( x ) . c Étudier le sens de variation de f et dresser son tableau de variations. 3 Déterminer une équation de la tangente T à la courbe ( C ) au point d’abscisse e 5 4 . 4 On se propose d’étudier la position de la courbe ( C ) par rapport à la droite ( T ) . Pour cela, on considère la fonc-tion ’ , définie sur 0 ; + ∞ par : ’ ( x ) = f ( x ) − 4 · e − 5 4 · x − 41 8 a Montrer que : ’ ( x )= 4 · ln x − 1 x − 4 · e − 5 4 puis calculer ’  ( x ) . b Étudier le sens de variation de ’ sur 0 ; + ∞ . En déduire que, pour tout x appartenant à 0 ; + ∞ , on a: ’ ( x ) 0 . c Calculer ’ e 5 4 . Pour tout x appartenant à 0 ; + ∞ , déterminer le signe de ’ ( x ) . En déduire la position de la courbe ( C ) par rapport à la droite ( T ) . 5 Tracer la courbe ( C ) et la droite ( T ) . (unité graphique: 2 cm ) 11. Etude de fonctions et théorème de valeurs intermédiaires E.4297 Soit f la fonction définie sur l’intervalle 0 ; + ∞ par : f ( x ) = ln x 2 + 4 1 Étudier le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle 0 ; + ∞ . 2 Soit g la fonction définie sur l’intervalle 0 ; + ∞ par : g ( x ) = f ( x ) − x a Étudier le sens de variation de la fonction g sur l’intervalle 0 ; + ∞ . b Montrer que sur l’intervalle 2 ; 3 l’équation g ( x )=0 admet une unique solution que l’on notera ¸ . Donner la valeur arrondie de ¸ à 10 − 1 . c Justifier que le nombre réel ¸ est l’unique solution de l’équation f ( x )= x . https://chingmath.fr chapExoCorrec/1616 sacados/1616 Extrait Antilles-Guyane Septembre 2010 sacados/4971 A verifier chapExoCorrec/4316 sacados/4316 Inspiree d'Asie Juin 2011 chapExoCorrec/3897 sacados/3897 Extrait Antilles-Guyane Septembre 2001 chapExoCorrec/4297 sacados/4297
E.5963 On appelle f la fonction définie sur l’intervalle I = − 2 ; + ∞ par : f ( x ) = 1 + x · ln( x +2) On note ( C f ) la courbe représentative de f dans le repère orthonormé O ; −→ i ; −→ j . Partie A : étude de la fonction f 1 Étude des variations de la dérivée f : a f désigne la fonction dérivée première de f et f  la fonction dérivée seconde. Calculer f ( x ) puis f  ( x ) pour x appartenant à l’intervalle − 2 ; + ∞ . b Étudier les variations de f sur l’intervalle − 2 ; + ∞ . c Déterminer les limites de f en − 2 et en + ∞ . 2 Étude du signe de f ( x ) . a Montrer que sur l’intervalle − 2 ; + ∞ l’équation f ( x )=0 admet une solution unique ¸ appartenant à l’intervalle − 0 ; 6 ; − 0 ; 5 . b En déduire le signe de f ( x ) selon les valeurs de x . 3 Étude des variations de f : a Étudier les variations de la fonction f sur l’intervalle − 2 ; + ∞ . b Déterminer les limites de f en − 2 et en + ∞ . c Dresser le tableau de variations de f . A l’aide de la calculatrice, on indiquera les coordonnées du point d’abscisse ¸ à 10 − 3 près. Partie B Soit x 0 un réel appartenant à l’intervalle − 2 ; + ∞ , on ap-pelle T x 0 la tangente à la courbe ( C f ) au point d’abscisse x 0 . On note, pour x appartenant à l’intervalle − 2 ; + ∞ : d ( x ) = f ( x ) − f ( x 0 ) · x − x 0 + f ( x 0 ) 1 Étude des variations de d : a Vérifier que, pour tout x appartenant à l’intervalle − 2 ; + ∞ : d ( x ) = f ( x ) − f ( x 0 ) b En utilisant la croissance de la fonction f , donner le signe de d ( x ) selon les valeurs de x . En déduire les variations de d sur l’intervalle − 2 ; + ∞ . 2 Déterminer la position relative de ( C f ) et de T x 0 . E.5149 1 Soit f la fonction définie sur 0 ; + ∞ par : f ( x ) = x · e x − 1 a Déterminer la limite de la fonction f en + ∞ et étudier le sens de variation de f . b Démontrer que l’équation f ( x )=0 admet une unique solution ¸ sur l’intervalle 0 ; + ∞ . Déterminer une valeur approchée de ¸ à 10 − 2 près. c Déterminer le signe de f ( x ) suivant les valeurs de x . 2 On note C la courbe représentative de la fonction ex-ponentielle et Γ celle de la fonction logarithme népérien dans le plan muni d’un repère orthonormé O ; −→ i ; −→ j . Les courbes C f et Γ sont données ci-dessous : Soit x un nombre réel strictement positif. On note M le point de C d’abscisse x et N le point de Γ d’abscisse x . On rappelle que pour tout réel x strictement positif : e x > ln( x ) . a Montrer que la longueur MN est minimale lorsque x = ¸ . Donner une valeur approchée de cette longueur à 10 − 2 près. b En utilisant la question 1 , monter que : e α = 1 ¸ . En déduire que la tangente à C au point d’abscisse ¸ et la tangente à Γ au point d’abscisse ¸ sont parallèles. 12. Etude de fonctions avec étude d’une fonction auxiliaire E.109 On considère la fonction f définie sur 1 ; + ∞ par : f ( x ) = x − ln( x ) x 1 Soit g la fonction définie sur 1 ; + ∞ par : g ( x ) = x 2 − 1 + ln( x ) Montrer que la fonction g est positive sur 1 ; + ∞ . 2 a Montrer que, pour tout x de 1 ; + ∞ : f ( x ) = g ( x ) x 2 b En déduire le sens de variation de f sur 1 ; + ∞ . https://chingmath.fr chapExoCorrec/5963 sacados/5963 chapExoCorrec/5149 sacados/5149 Extrait Antilles-Guyanne Juin 2011 -123456I-12345678JOCMN chapExoCorrec/109 sacados/109
E.5141 Partie A On considère la fonction g définie sur l’intervalle 0 ; + ∞ par : g ( x )=2 x 3 − 1+2 · ln x 1 Étudier les variations de la fonction g sur l’intervalle 0 ; + ∞ . 2 Justifier qu’il existe un unique réel ¸ tel que g ( ¸ )=0 . Donner une valeur approchée de ¸ , arrondie au centième. 3 En déduire le signe de la fonction g sur l’intervalle 0 ; + ∞ . Partie B On considère la fonction f définie sur l’intervalle 0 ; + ∞ par : f ( x )=2 x − ln x x 2 On note C la courbe représentative de la fonction f dans le plan, muni d’un repère orthogonal O ; −→ i ; −→ j . 1 Déterminer les limites de la fonction f en 0 et en + ∞ . 2 Justifier que f ( x ) a le même signe que g ( x ) . 3 En déduire le tableau de variations de la fonction f . 4 Tracer la courbe C dans le repère O ; −→ i ; −→ j . On pren-dra comme unités : 2 cm sur l’axe des abscisses et 1 cm sur l’axe des ordonnées. E.3891 On considère la fonction f définie sur 0 ; + ∞ par : f ( x ) = x + ln x x On note C la courbe représentative de la fonction f dans le plan muni d’un repère orthonormé O ; −→ i ; −→ j d’unité graphique 3 cm . I- Étude d’une fonction auxiliaire On considère la fonction f définie sur 0 ; + ∞ par : g ( x ) = x 2 + 1 − ln x 1 Étudier les variations de g sur 0 ; + ∞ . 2 En déduire le signe de g sur 0 ; + ∞ . II- Étude de la fonction f et tracé de sa courbe représentative C 1 Déterminer la limite en 0 de la fonction f . Quelle est l’interprétation graphique de ce résultat? 2 Déterminer la limite en + ∞ de f . 3 Soit f la fonction dérivée de la fonction f . Calculer f ( x ) pour tout réel x de 0 ; + ∞ . 4 En déduire le sens de variation de f sur 0 ; + ∞ , puis dresser le tableau de variations de la fonction f . On considère la droite D d’équation y = x . 5 Déterminer le point A de la courbe C en lequel la tan-gente T est parallèle à la droite D . 6 Dans le repère O ; −→ i ; −→ j , tracer les droites D et T et la courbe C . E.5959 Partie A : Étude d’une fonction auxiliaire g Soit g la fonction définie sur l’intervalle 0 ; + ∞ par : g ( x ) = 2 x 2 − x 2 + 1 · ln x 2 +1 1 En détaillant les calculs effectués, montrer que : g ( x ) = 2 x − 2 x · ln x 2 +1 2 Faire l’étude du sens de variation de g sur l’intervalle 0 ; + ∞ . 3 Montrer qu’il existe un unique réel, que l’on notera ¸ , dans l’intervalle e − 1 ; e 2 − 1 , tel que g ( ¸ )=0 ; don-ner la valeur approchée de ¸ à 10 − 2 près. 4 En déduire le signe de g ( x ) , pour x appartenant l’intervalle 0 ; + ∞ . Partie B: Étude de la fonction f La fonction f est définie sur 0 ; + ∞ par : f (0) = 0 ; f ( x ) = ln 1+ x 2 x lorsque x =0 . Sa courbe représentative ( C f ) , dans le plan rapporté à un repère d’origine O est donnée ci-dessous : 1 a Montrer que : lim x ↦→ 0 f ( x ) x = 1 . En déduire que f est dérivable en 0 et donner la valeur de f (0) . b Vérifier que, pour x strictement positif : f ( x ) = g ( x ) x 2 · 1 + x 2 Faire l’étude du sens de variation de f sur l’intervalle 0 ; + ∞ . 2 a Montrer que, pour x 1 : 0 f ( x ) ln 2 x 2 x b En déduire la limite de f en + ∞ . 13. Etude de familles de fonctions E.5962 On munit le plan d’un repère orthonormé O ; −→ i ; −→ j . Partie A Soit f la fonction définie sur 0 ; + ∞ par : f ( x ) = 1 + 2 · ln x x 2 Soit ( C ) la courbe représentative de f et soit ( C ) celle de la fonction h définie sur 0 ; + ∞ par : h ( x )= 1 x . 1 Calculer la dérivée f de f et étudier les variations de f . 2 Pour tout x de 0 ; + ∞ , on pose : g ( x ) = 1 − x + 2 · ln x a Étudier les variations de la fonction g . b Montrer que l’équation g ( x )=0 admet une solution unique dans chacun des intervalles 0 ; 2 et 2 ; 4 . Soit ¸ la solution appartenant 2 ; 4 . https://chingmath.fr chapExoCorrec/5141 sacados/5141 Extrait du Liban Mai Juin 2012 chapExoCorrec/3891 sacados/3891 chapExoCorrec/5959 sacados/5959 Extrait Centres etrangers Juin 1999 chapExoCorrec/5962 sacados/5962 Extrait d'Asie Juin 2003
Donner un encadrement de ¸ d’amplitude 10 − 2 . 3 a Montrer que f ( x ) − 1 x = g ( x ) x 2 et en déduire que ( C ) et ( C ) se coupent en deux points. b Montrer que, pour tout réel x supérieur ou égal à 4 , la double inégalité suivante est vraie: 0 <f ( x ) 1 x Partie B On considère, pour tout entier n supérieur ou égal à 1 , la fonction f n définie sur 0 ; + ∞ par : f n ( x ) = 1 + 2 ln x x 2 n 1 Calculer la dérivée f n de la fonction f n . 2 Résoudre l’équation f n ( x )=0 . Soit x n la solution de cette équation. 3 Déterminer la limite de la suite x n . E.5150 Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1 , on désigne par f n la fonction définie par : f n ( x ) = x n · e − x On note C n sa courbe représentative dans un repère orthogo-nal O ; −→ i ; −→ j du plan. Sur le graphique ci-dessous, on a représenté une courbe C k où k est un entier naturel non nul, sa tangente T k au point d’abscisse 1 et la courbe C 3 . La droite T k coupe l’axe des abscisses au point A de coordon-nées 4 5 ; 0 . 1 a Déterminer les limites de la fonction f 1 en −∞ et en + ∞ . b Étudier les variations de la fonction f 1 et dresser le tableau de variations de f 1 . c À l’aide du graphique, justifier que k est un entier supérieur ou égal à 2 . 2 a Démontrer que pour n 1 , toutes les courbes C n passent par le point O et un autre point dont on don-nera les coordonnées. b Vérifier que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2 , et pour tout réel x : f n ( x ) = x n − 1 · ( n − x ) · e − x 3 Sur le graphique, la fonction f 3 semble admettre un max-imum atteint pour x =3 . Valider cette conjecture à l’aide d’une démonstration. 4 a Démontrer que la droite T k coupe l’axe des abscisses au point de coordonnées k − 2 k − 1 ; 0 . b En déduire, à l’aide des données de l’énoncé, la valeur de l’entier k . E.5856 Partie A On considère la famille de fonctions f k définie pour k ∈ N par : f k ( x )=( x + k ) · e x + x On note C k la courbe représentative de la fonction f k dans un repère orthonormé. Quelle fonction de la famille f k admet la droite ( d ) d’équation y = x − e − 2 comme tangente au point d’abscisse − 2 ? Partie B 1 On considère la fonction g définie par : g ( x ) = ( x + 1) · e x + e − 2 . a Déterminer l’expression de la fonction g . b Dresser le tableau de variations de la fonction g . 2 Déduire des questions précédentes la position relative de la courbe C 1 et de la droite ( d ) . https://chingmath.fr chapExoCorrec/5150 sacados/5150 -12345I-2-123JOC3CkTk chapExoCorrec/5856 sacados/5856
E.5848 Étant donné un nombre réel k , on considère la fonction f k définie sur R par : f k ( x ) = 1 1 + e − k · x Le plan est muni d’un repère orthonormé O ; −→ i ; −→ j . Partie A Dans cette partie, on choisit k =1 . On a , pour tout réel x : f 1 ( x ) = 1 1 + e − x La représentation graphique C 1 de la fonction f 1 dans le repère O ; −→ i ; −→ j est donnée ci-dessous : 1 Déterminer les limites de f 1 ( x ) en + ∞ et −∞ et inter-préter graphiquement les résultats obtenus. 2 Démontrer que, pour tout réel x : f 1 ( x )= e x 1+e x . 3 On appelle f 1 la fonction dérivée de f 1 sur R . Calculer, pour tout réel x , f 1 ( x ) . En déduire les variations de la fonction f 1 sur R . Partie B Dans cette partie, on choisit k = − 1 et on souhaite tracer la courbe C − 1 représentant la fonction f − 1 . Pour tout réel x , on appelle P le point de C 1 d’abscisse x et M le point de C − 1 d’abscisse x . On note K milieu du segment [ MP ] . 1 Montrer que, pour tout réel x : f 1 ( x )+ f − 1 ( x )=1 . 2 En déduire que le point K appartient à la droite d’équation y = 1 2 . 3 Tracer la courbe C − 1 sur le repère ci-dessous. E.5849 Dans tout ce qui suit, m désigne un nombre réel quelconque. Partie A Soit f la fonction définie et dérivable sur l’ensemble des nom-bres réels R telle que : f ( x ) = ( x + 1) · e x 1 Calculer la limite de f en + ∞ et en −∞ . 2 On note f la fonction dérivée de la fonction f sur R . Démontrer que pour tout réel x : f ( x )=( x +2) · e x . 3 Dresser le tableau de variations de f sur R . Partie B On définit la fonction g m sur R par : g m ( x ) = x + 1 − m · e − x et on note C m la courbe de la fonction g m dans un repère O ; −→ i ; −→ j du plan. 1 a Démontrer que : g m ( x )=0 si, et seulement si, f ( x )= m . b Déduire de la partie A , sans justification, le nombre de points d’intersection de la courbe C m avec l’axe des abscisses en fonction du réel m . 2 On a représenté ci-dessous les courbes C 0 , C e et C − e (obtenues en prenant respectivement pour m les valeurs 0 , e et − e ) . Identifier chacune de ces courbes sur la figure ci-dessous en justifiant. 3 Étudier la position de la courbe C m par rapport à la droite D d’équation y = x +1 suivant les valeurs du réel m . E.6964 Soit k un réel strictement positif. On considère les fonctions f k définies sur R par : f k ( x ) = x + k · e − x On note C k la courbe représentative de la fonction f k dans un plan muni d’un repère orthonormé. On a représenté ci-dessous quelques courbes C k pour dif-férentes valeurs de k . Pour tout réel k strictement positif, la fonction f k admet un minimum sur R . La valeur en laquelle ce minimum est at-teint est l’abscisse du point A k de la courbe C k . Il semblerait que, pour tout réel k strictement positif, les points A k soient alignés. Est-ce le cas? https://chingmath.fr chapExoCorrec/5848 sacados/5848 -4-3-2-101234-2-112ijC1 chapExoCorrec/5849 sacados/5849 -2-1012345-3-2-1123456ijCourbe2Courbe3Courbe1 chapExoCorrec/6964 sacados/6964 Extrait Liban Juin 2017 -4-3-2-123456I23456JO
14. Suites E.3925 1 On considère la fonction g définie sur 1 ; + ∞ par : g ( x ) = ln(2 x ) + 1 − x a Cette question demande le développement d’une cer-taine démarche comportant plusieurs étapes. La clarté du plan d’étude, la rigueur des raisonnements ainsi que la qualité de la rédaction seront prises en compte dans lors de l’évaluation. Démontrer que l’équation g ( x )=0 admet sur 1 ; + ∞ une unique solution notée ¸ . b Démontrer que : ln 2 · ¸ + 1 = ¸ 2 Soit la suite u n définie par u 0 =1 et pour tout entier naturel n , par : u n +1 = ln(2 · u n ) + 1 . On désigne par (Γ) la courbe d’équation y =ln(2 · x )+1 dans un repère orthonormé O ; −→ i ; −→ j . Cette courbe est donnée ci-dessous : a En utilisant la courbe (Γ) , construire sur l’axe des ab-scisses les quatre premiers termes de la suite. b Démontrer que pour tout entier naturel n : 1 u n u n +1 3 c Démontrer que la suite u n converge vers ¸ . E.5861 On considère la suite u n définie par : u 0 =1 ; u n +1 = 2 u n 1 a Démontrer que, pour tout entier naturel n : 0 <u n 2 b Déterminer le sens de variation de la suite u n . c Démontrer que la suite u n est convergente. On ne demande pas la valeur de sa limite. 2 On considère la suite v n définie, pour tout entier na- turel n , par : v n =ln u n − ln2 a Démontrer que la suite v n est la suite géométrique de raison 1 2 et de premier terme v 0 = − ln2 . b Déterminer, pour tout entier naturel n , l’expression de v n en fonction de n , puis de u n en fonction de n . c Déterminer la limite de la suite u n . E.5167 Soit f la fonction définie sur 0 ; + ∞ par : f ( x ) = x + e − x On note ( C ) la courbe représentative de f dans un repère orthonormé O ; −→ i ; −→ j . Partie A 1 Étudier les variations de la fonction f sur 0 ; + ∞ . 2 Déterminer la limite de f en + ∞ . Partie B On considère la suite u n n 1 à termes positifs définie par : u 1 = 0 ; u n +1 = f ( u n ) = u n + e − u n 1 Démontrer que, pour tout réel x positif : ln(1+ x ) x On pourra étudier la fonction g définie sur 0 ; + ∞ par : g ( x ) = x − ln(1+ x ) 2 En déduire que, pour tout entier naturel n non-nul : ln( n +1) ln( n ) + 1 n 3 Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul : f ln( n ) = ln( n ) + 1 n 4 Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n non-nul : ln n u n 5 En déduire la limite de la suite u n n 1 . E.6908 Soit u n la suite définie par u 0 =1 et, pour tout entier naturel n : u n +1 = u n − ln u n 2 +1 On admet que la fonction f définie par : f ( x ) = x − ln x 2 +1 est croissante sur R . 1 Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n , u n appartient à 0 ; 1 . 2 Étudier les variations de la suite u n . 3 Montrer que la suite u n est convergente. 4 On note ‘ sa limite, et on admet que ‘ vérifie l’égalité: f ( ‘ ) = ‘ En déduire la valeur de ‘ . 15. Suites et sommes de termes https://chingmath.fr chapExoCorrec/3925 sacados/3925 -12345678I-3-2-1234JO chapExoCorrec/5861 sacados/5861 chapExoCorrec/5167 sacados/5167 Extrait Liban Mai 2011 chapExoCorrec/6908 sacados/6908
E.3289 On se propose d’étudier la suite ( u n ) de nombres réels définis par : u 1 = 3 2 ; u n +1 = u n · 1 + 1 2 n +1 1 Montrer par récurrence que u n > 0 pour tout entier na-turel n 1 . 2 Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n 1 : ln u n = ln 1+ 1 2 + ln 1+ 1 2 2 + · · · + ln 1+ 1 2 n E.3293 On considère la suite v de terme général v n défini par : v n = ln n n +1 pour tout n ∈ N ∗ où ln désigne la fonction logarithme népérien. On définit la somme S n pour tout entier naturel non nul n par : S n = v 1 + v 2 + · · · + v n Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n : S n = − ln n +1 E.5961 On considère la fonction f définie sur R par : f ( x ) = ln 1+e − x Partie A 1 Déterminer la limite de f en −∞ , puis la limite de f en + ∞ . 2 Étudier le sens de variation de f . Partie B Voici deux fonctions extraites d’algorithmes prenant pour ar-gument un entier naturel supérieur ou égal à 1 : Algorithme 1 Fonction f(n) a ← 0 k ← 1 Tant que ...... a ← a+ exp( - k) k ← k + 1 Fin Tant que Renvoyer k Algorithme 2 Fonction g(n) a ← 0 Pour i allant de 1 à n b ← ln 1+ exp( − i) ... Fin Pour Renvoyer a 1 Considérons la suite a n définie par : a n = e − 1 + e − 2 + · · · + e − n pour tout n ∈ N ∗ . On admet que la suite a n est croissante et converge vers la valeur 1 e − 1 Compléter les pointillés de l’algorithme 1 afin que la valeur renvoyée par la fonction f soit le rang du premier terme de la suite a n réalisant une valeur approchée de 1 e − 1 à 10 − 4 près lorsque la valeur fournie en argument soit la valeur 4 . 2 On définit la suite S n définie sur N ∗ par : S n = f (1) + f (2) + · · · + f ( n ) . Compléter l’algorithme 2 afin que la valeur renvoyée par la fonction g soit la valeur du terme de rang n lorsque la valeur de rang est fournie à la fonction g en argument. Partie C 1 Soient u et v les fonctions définies sur 0 ; + ∞ par : u ( t ) = ln 1+ t − t ; v ( t ) = ln 1+ t − t + 1 2 · t 2 a Étudier les variations de u et v . b En déduire que, pour tout nombre réel t positif, on a: t − 1 2 t 2 ln 1+ t t 2 Soit n entier naturel non-nul ( n 1) . On considère le nombre : S n = f (1) + f (2) + · · · + f ( n ) a Démontrer que pour tout entier naturel n : 1 − e − n e − 1 − 1 2 × 1 − e − 2 n e 2 − 1 S n 1 − e − n e − 1 b On admet la proposition suivante : Proposition: Soit u n , v n et w n trois suites telles que : u n v n w n pour tout n ∈ N convergentes respectivement vers les nombres k , ‘ et m . Alors, on a l’encadrement : k ‘ m et on admet que la suite ( S n ) a une limite réelle L . Montrer que : ⏐ ⏐ ⏐ L − 1 e − 1 ⏐ ⏐ ⏐ 1 2 · e 2 − 1 E.6909 On considère la suite u n définie pour tout entier strictement positif n par : u n = 1 + 1 2 + 1 3 + · · · + 1 n − ln n 1 On désigne par f la fonction définie sur l’intervalle 1 ; + ∞ par : f ( x ) = 1 x + 1 + ln x x + 1 a Dresser le tableau de variations de la fonction f . b En déduire le signe de la fonction f . 2 a Démontrer que pour tout entier strictement positif : u n +1 − u n = f ( n ) b En déduire le sens de variation de la suite u n . 16. Logarithmes et probabilités E.4195 Dans un jeu aléatoire, l’événement G ˇ la partie est gagnée ı a une probabilité de : P ( G ) = 23 180 1 Un joueur répète six fois ce jeu de manière indépendante. Calculer la probabilité qu’il en gagne exactement deux et en donner une valeur arrondie à 10 − 2 près. 2 Quel nombre minimal de parties un joueur doit-il faire pour que la probabilité d’en gagner au moins une soit supérieure à 0 ; 9 ? https://chingmath.fr chapExoCorrec/3289 sacados/3289 chapExoCorrec/3293 sacados/3293 chapExoCorrec/5961 sacados/5961 Inspire de sportif de haut-niveau Septembre 1999 chapExoCorrec/6909 sacados/6909 chapExoCorrec/4195 sacados/4195
E.4155 Une urne contient 10 boules blanches et n boules rouges, n étant un entier naturel supérieur ou égal à 2 . On fait tirer à un joueur des boules de l’urne. À chaque tirage, toutes les boules ont la même probabilité d’être tirées. Le joueur tire 20 fois successivement et avec remise une boule de l’urne. Les tirages sont indépendants. Déterminer la valeur minimale de l’entier n afin que la probabilité d’obtenir au moins une boule rouge au cours de ces 20 tirages soit stricte-ment supérieur à 0 ; 999 . E.6047 Un joueur débute un jeu vidéo et effectue plusieurs parties successives. On admet que : la probabilité qu’il gagne la première partie est de 0 ; 1 ; s’il gagne une partie, la probabilité de gagner la suivante est égale à 0 ; 8 ; s’il perd une partie, la probabilité de gagner la suivante est égale à 0 ; 6 . On note, pour tout entier naturel n non nul : G n l’événement ˇ le joueur gagne la n -ième partie ı ; p n la probabilité de l’événement G n . On a donc : p 1 =0 ; 1 1 À l’aide de la formule des probabilités totales, montrer que pour tout entier naturel n non nul : p n +1 = 1 5 · p n + 3 5 . 2 Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n non nul : p n = 3 4 − 13 4 · 1 5 n 3 Déterminer la limite de la suite p n quand n tend vers + ∞ . 4 Pour quelles valeurs de l’entier naturel n a-t-on : 3 4 − p n < 10 − 7 ? 17. Cours E.3890 Pré-requis: on suppose connues la dérivée de la fonction exponentielle et la formule de dérivation de u ◦ v ainsi que ses conditions d’utilisation. On suppose savoir que la fonction ln est dérivable sur 0 ; + ∞ et que pour tout x de 0 ; + ∞ , on a: exp ln x = x À partir de ces quatre arguments, montrer que la dérivée de la fonction ln est la fonction définie sur 0 ; + ∞ qui à x associe 1 x . E.3963 Dans cet exercice, on demande aux candidats d’établir, en suivant la démarche proposée, deux ré-sultats de cours. Rappel: la fonction ln est définie et dérivable sur 0 ; + ∞ , positive sur 1 ; + ∞ , et vérifie: ln 1 = 0 Pour tous réels strictement positifs x et y , ln( x · y ) = ln x + ln y Pour tout réel strictement positif x , ln( x ) = 1 x ln(2) ≈ 0 ; 69 à 10 − 2 près. On considère la fonction f définie sur 0 ; + ∞ par : f ( x ) = x − ln x 1 Étudier les variations de f et en déduire que f admet un minimum sur 0 ; + ∞ . 2 En déduire le signe de f puis, que, pour tout x> 1 : 0 < ln x x < x x 3 En déduire que : lim x ↦→ + ∞ ln x x = 0 . E.3280 Restitution organisée des con-naissances Pré-requis: La fonction logarithme népérien est dérivable sur l’intervalle 0 ; + ∞ ; Sa fonction dérivée est la fonction inverse : x ↦−→ 1 x . ln(1) = 0 Démontrer que pour tous réels strictement positifs ¸ et x : ln( ¸x ) = ln( ¸ ) + ln( x ) E.6091 Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie. On considère la fonction g définie sur − 1 2 ; + ∞ par : g ( x ) = 2 x · ln 2 x + 1 Proposition 1: Sur − 1 2 ; + ∞ , l’équation g ( x )=2 x a une unique solution e − 1 2 . Proposition 2: Le coefficient directeur de la tangente à la courbe représenta-tive de la fonction g au point d’abscisse 1 2 est : 1+ln4 . E.3659 Prérequis: on rappelle que : lim x ↦→ + ∞ e x x = + ∞ 1 Démontrer que : lim x ↦→ + ∞ ln x x =0 . 2 En déduire que pour tout entier naturel n non nul : lim x ↦→ + ∞ ln x x n = 0 https://chingmath.fr chapExoCorrec/4155 sacados/4155 chapExoCorrec/6047 sacados/6047 chapExoCorrec/3890 sacados/3890 Extrait Antilles-Guyane Septembre 2010 chapExoCorrec/3963 sacados/3963 Amerique du Sud Novembre 2008 chapExoCorrec/3280 sacados/3280 Extrait Antilles-Guyane Juin 2006 chapExoCorrec/6091 sacados/6091 chapExoCorrec/3659 sacados/3659 Centres etrangers Juin 2008
18. Exercices non-classés E.3653 Soit f la fonction définie sur R par : f ( x )=e x − x − 1 1 Déterminer le signe de f (on pourra étudier les variations de la fonction f ) . Établir l’inégalité suivante pour tout entier naturel non nul n : e 1 n 1 + 1 n 2 En utilisant l’inégalité précédente, démontrer que pour tout entier naturel non nul n : 1 + 1 n n e E.9729 Soit f la fonction définie sur R par : f ( x ) = x + 2 − 4 · e x e x + 3 On désigne par C sa courbe représentative dans le plan rap-porté à un repère orthonormé O ; −→ i ; −→ j d’unité graphique 2 cm . 1 a On note f la fonction dérivée de f . Calculer f ( x ) et montrer que, pour tout réel x , on a: f ( x ) = e x − 3 e x + 3 2 b Déterminer les sens de variations de f sur R . 2 Déterminer l’équation de la tangente ( T ) à la courbe C au point d’abscisse 0 . E.101 1 Résoudre le système suivant, où u et v sont des nombres réels : u + 1 2 · v = 0 u − 1 4 · v = 3 2 2 Soit f une fonction définie sur R par : f ( x ) = a · e x + b e x + 1 ( a et b réels) Trouver les valeurs des réels a et b , sachant que la courbe représentative de la fonction f dans un repère O ; −→ i ; −→ j passe par O et que la tangente à la courbe en ce point est parallèle à la droite (Δ) d’équation y = 3 2 x − 2 . 3 Soit g la fonction définie sur R par : g ( x )=e x − 2 e x +1 a Résoudre dans R l’équation: g ( x )=0 . b Résoudre dans R l’inéquation: g ( x ) 1 https://chingmath.fr chapExoCorrec/3653 sacados/3653 Inspire de Nouvelle-Caledonie Novembre 2007 chapExoCorrec/9729 sacados/9729 chapExoCorrec/101 sacados/101 France - septembre 2001 - 4 points