Terminale Spécialité / Orthogonalite, distance dans l'espace 60 exercices (dont 47 corrigés)

a
1. Droites et orthogonalité E.5398 Dans l’espace, on considère le cube ABCDEFGH représenté ci-dessous : 1 Justifier que les droites ( EF ) et ( GC ) sont orthogonales. 2 Justifier que les droites ( AD ) et ( HF ) ne sont pas or-thogonales. 3 Les droites ( AG ) et ( BG ) sont-elles orthogonales? E.6815 La figure ci-dessous représente un cube ABCDEFGH . Les points I et J sont les milieux respec-tifs des arêtes [ GH ] et [ FG ] . Les points M et N sont les centres respectifs des faces ABFE et BCGF . Parmi les propositions suiv-antes, une seule est exacte. Laquelle? a Les droites ( IJ ) et ( MN ) sont perpendiculaires. b Les droites ( IJ ) et ( MN ) sont sécantes, non perpendic-ulaires. c Les droites ( IJ ) et ( MN ) sont orthogonales. d Les droites ( IJ ) et ( MN ) sont parallèles. Justifier votre réponse. 2. Droites, plans et orthogonalité E.576 On considère le cube ABCDEFGH de côté 5 cm représenté ci-dessous : 1 Montrer que le plan ( ABC ) est orthogonal à la droite ( AE ) 2 Calculer la longueur de la diagonale [ EC ] . E.5399 Dans l’espace, on considère le cube ABCDEFGH représenté ci-dessous : 1 a Justifier que ( AF ) est orthogonale au plan ( EBC ) . b En déduire que ( AF ) et ( EC ) sont orthogonales. 2 a Justifier que ( HF ) est orthogonale au plan ( ECG ) . b En déduire que ( HF ) et ( EC ) sont orthogonales. 3 En déduire que ( EC ) est orthogonale au plan ( AFH ) . E.5397 La figure ci-contre représente un tétraèdre régulier ABCD et I le milieu du segment [ BD ] . Justifier que la droite ( BD ) est orthogonale au plan ( AIC ) . 3. Plan médian https://chingmath.fr chapExoCorrec/5398 sacados/5398 ABCDEFGH chapExoCorrec/6815 sacados/6815 ABCDEFGHIJMN chapExoCorrec/576 sacados/576 ABCDEFGH chapExoCorrec/5399 sacados/5399 ABCDEFGH chapExoCorrec/5397 sacados/5397 ABCDI
E.6966 Dans l’espace, on considère le tétraè-dre régulier ABCD représenté ci-dessous : Les points I et J sont respectivement les milieux des segments [ AD ] et [ BC ] . 1 a Justifier que le plan ( JAD ) est le plan médiateur du segment [ BC ] . b Quelle est la position relative des droites ( BC ) et ( IJ ) ? 2 Justifier que les droites ( AD ) et ( IJ ) sont perpendicu-laires. 3 Les droites ( AD ) et ( BC ) sont-elles parallèles? Justifier votre réponse. E.6868 On considère un solide ADECBF constitué de deux pyramides identiques ayant pour base commune le carré ABCD de centre I . Une représentation en perspective de ce solide est donnée ci-dessous. Toutes les arêtes sont de longueur 1 . 1 Justifier que les droites ( DE ) et ( FB ) sont parallèles. 2 Justifier que les plans ( ABF ) et ( CED ) sont parallèles. 4. Distance dans l’espace E.2963 Rappels: dans l’espace muni d’un repère, soit A et B deux points et I est le milieu du segment [ AB ] : AB = x B − x A 2 + y B − y A 2 + z B − z A 2 I x A + x B 2 ; y A + y B 2 ; z A + z B 2 Dans l’espace muni d’un repère O ; I ; J ; K orthonormé, on considère quatre points repérés par leurs coordonnées : A 3 ; − 1 ; 5 ; B − 2 ; 2 ; 3 ; C − 1 ; − 2 ; 4 ; D 1 2 ; 1 2 ; 4 1 Les points A , B , C sont-ils alignés? 2 Montrer que le triangle ABC est isocèle en C . 3 Justifier que le point D est le pied de la hauteur du tri-angle ABC issue du sommet C . E.914 Dans l’espace muni du repère O ; I ; J ; K orthonormé, on considère la sphère S de centre O et dont le rayon a pour valeur 2 : On considère les points E et F dont les coordonnées sont : E 0 ; 96 ; 1 ; 28 ; 1 ; 2 F 1 ; 2 ; − √ 15 5 ; 1 ; 4 1 Montrer que les points E et F sont des points de la sphère S . 2 Soit G le point diamétralement opposé au point F dans la sphère S . Justifier que le triangle EFG est rectangle. https://chingmath.fr chapExoCorrec/6966 sacados/6966 ABCDIJ chapExoCorrec/6868 sacados/6868 ABCDEFI chapExoCorrec/2963 sacados/2963 chapExoCorrec/914 sacados/914 jkiOSFGE
E.2777 On considère l’espace muni d’un repère orthonormé ( O ; I ; J ; K ) . On considère les trois points A , B , C définis par leurs coordonnées : A 180 ; 153 ; 96 ; B 180 ; 135 ; 120 ; C 190 ; 133 ; 106 1 Montrer que les points A , B , C appartiennent à une même sphère S de centre O . 2 Établir que le triangle ABC est rectangle C . 3 a Est-ce qu’un des côtés du triangle ABC est un di-amètre de la sphère S ? b Pouvez-vous citer une propriété du plan qui ne peut s’étendre à l’espace? E.6752 Dans l’espace, on considère le cube ABCDEFGH d’arête 1 . On munit l’espace du repère C ; −−→ CB ; −−→ CD ; −−→ CG orthonormal. Les points I , J , K , L , M , N sont les milieux respectifs des segments [ AB ] , [ BC ] , [ CG ] , [ GH ] , [ HE ] , [ EA ] . 1 Déterminer les coordonnées des points I , K et L . 2 a Déterminer les coordonnées du point O milieu du segment [ IL ] . b Déterminer les longueurs OK et KL . 3 On admet que le polygone IJKLMN est un hexagone régulier. Ainsi, le point O est le centre de ce polygone. a Donner la mesure de l’angle KOL . b Déterminer l’aire du triangle KOL . 5. Définition du produit scalaire E.8891 Définition: soit −→ u et −→ v deux vecteurs de l’espace. Le produit scalaire des vecteurs −→ u et −→ v , noté −→ u · −→ v , est défini par le produit scalaire −−→ AB · −→ AC où : le vecteur −−→ AB (resp. −→ AC ) est un représentant du vecteur −→ u (resp. −→ v ) . le calcul du produit scalaire −−→ AB · −→ AC s’effectue dans un plan contenant les points A , B , C . Proposition: soit A , B , C trois points définissant les deux vecteurs non-nuls −−→ AB et −→ AC . Le produit scalaire −−→ AB et −→ AC a pour valeur: −−→ AB · −→ AC = AB × AC × cos BAC On considère le cube ABCDEFGH de côté 1 représenté ci-contre. Le point I est le milieu du segment [ AB ] . 1 Déterminer la valeur du produit scalaire −−→ FE · −−→ FB 2 Déterminer le produit scalaire: −→ IA · −→ IB 3 a Quelle est la nature du triangle ACH ? b En déduire la valeur du produit scalaire −−→ HA · −−→ HC ? https://chingmath.fr chapExoCorrec/2777 sacados/2777 chapExoCorrec/6752 sacados/6752 ABCDEFGHIJKLMN chapExoCorrec/8891 sacados/8891 IABCDEFGH
E.8892 Proposition: soit −→ u et −→ v deux vecteurs non-nuls de l’espace. les vecteurs −→ u et −→ v sont orthogonaux entre eux si, et seulement si, −→ u · −→ v = 0 Si les vecteurs −→ u et −→ v sont colinéaires entre eux : −→ u et −→ v de même sens : −→ u · −→ v = −→ u × −→ v −→ u et −→ v de sens contraire: −→ u · −→ v = − −→ u × −→ v Dans l’espace, on considère le cube ABCDEFGH de côté 1 représenté ci-contre où les points I et J sont respective-ment les milieux des segments [ GH ] et [ AD ] . En utilisant les propriétés du cube et du carré, déterminer la valeur des produits scalaires : a −−→ EH · −−→ DH b −−→ AB · −−→ DC c −−→ BC · −−→ GF 6. Formule de bilinéarité E.5410 Proposition: Soit −→ u , −→ v , −→ w et k un nombre réel. On a les identités suivantes : −→ u · −→ v = −→ v · −→ u −→ u · −→ v + −→ w = −→ u · −→ v + −→ u · −→ w −→ u · k · −→ v = k · −→ u · −→ v = k −→ u · −→ v Dans l’espace, on considère le cube ABCDEFGH de côté 1 représenté ci-contre où les points I et J sont respective-ment les milieux des segments [ GH ] et [ AD ] . Méthode: dans le calcul de produit scalaire, on utilise la relation de Chasles pour décomposer les deux vecteurs par des vecteurs colinéaires ou orthogonaux entre eux. Cela fa-cilite le calcul des produits scalaires. En voici un exemple: Pour calculer le produit scalaire −→ IE · −−→ GF , on utilise la dé-composition du vecteur −→ IE : −→ IE = −→ IH + −−→ HE On peut alors écrire: −→ IE · −−→ GF = −→ IH + −−→ HE · −−→ GF = −→ IH · −−→ GF + −−→ HE · −−→ GF = 0 + HE × GF = 0 + 1 × 1 = 1 En utilisant également la relation de Chasles, déterminer la valeur des produits scalaires suivants : a −→ AF · −−→ HG b −→ JF · −−→ AB c −→ IJ · −−→ EF E.4188 Dans cet exercice, une réponse par ˇVRAIı ou ˇFAUXı, sans justification, est demandée au candidat en regard d’une liste d’affirmations. Toute réponse conforme à la réalité mathématique donne 0 ; 4 point. Toute réponse erronée enlève 0 ; 1 point. L’absence de réponse n’est pas comptabilisée. Le total ne saurait être négatif. On donne le cube ABCDEFGH , d’arête de longueur 1 , et les milieux I et J des arêtes [ AB ] et [ CG ] . Les éléments utiles de la figure sont donnés ci-contre. Le candidat est appelé à juger chacune des 10 affirmations suivantes. Affirmation Vrai Faux 1 −→ AC · −→ AI = 1 2 2 −→ AC · −→ AI = −→ AI · −−→ AB 3 −−→ AB · −→ IJ = −−→ AB · −→ IC 4 −−→ AB · −→ IJ = AB × IC × cos ı 3 7. Calcul de produit scalaire E.8890 Dans l’espace muni d’un repère or-thonormé. 1 On considère les deux vecteurs −→ u 1 ; 2 ; 3 et −→ v 2 ; − 1 ; 1 , déterminer le produit scalaire −→ u · −→ v . https://chingmath.fr chapExoCorrec/8892 sacados/8892 ABCDEFGHIJ chapExoCorrec/5410 sacados/5410 ABCDEFGHIJ chapExoCorrec/4188 sacados/4188 HGFEDCBAIJ chapExoCorrec/8890 sacados/8890
2 On considère les deux vecteurs −→ w − 2 ; 0 ; 1 et −→ t − 1 ; 1 ; − 1 , déterminer le produit scalaire −→ w · −→ t . E.8921 Proposition: pour tout vecteur −→ u et −→ v : −→ u 2 = −→ u 2 −→ u · −→ v = 1 2 · −→ u + −→ v 2 − −→ u 2 − −→ v 2 −→ u · −→ v = 1 2 · −→ u 2 + −→ v 2 − −→ u − −→ v 2 −→ u · −→ v = 1 4 · −→ u + −→ v 2 − −→ u − −→ v 2 On considère le parallélépipède ABCDEFGH représenté ci-dessous : On munit l’espace du repère O ; −→ i ; −→ j ; −→ k représenté ci-dessus. On a alors les mesures : AB = 10 ; AD = 5 ; AE = 4 1 Déterminer les valeurs de −→ AC , −−→ CG et −→ AC · −−→ CG . 2 En déduire la mesure de la diagonale [ AG ] . 8. Produit scalaire et orthogonalité E.2778 Dans l’espace muni d’un repère or-thonormé, on considère les trois points suivants : A 6 ; 5 ; 1 ; B − 4 ; 2 ; − 4 ; C 4 ; 7 ; 2 Montrer que le triangle ABC est un triangle rectangle en C . E.8893 Dans l’espace, on considère le cube ABCDEFGH représenté ci-dessous et où les points I , J , K sont les milieux respectifs des segments [ AB ] , [ DG ] , [ EH ] . On considère l’espace muni du repère D ; −−→ DA ; −−→ DC ; −−→ DH . Montrer que les droites ( IJ ) et ( CK ) sont orthogonales. E.8920 On considère le parallélépipède ABCDEFGH représenté ci-dessous où : AB = a avec a ∈ R ∗ + ; AD = 1 ; AE = 1 1 Justifier que les droites ( HB ) et ( AG ) sont coplanaires. 2 Déterminer la valeur de a afin que les droites ( HB ) et ( AG ) sont perpendiculaires. 9. Déterminer la mesure d’un angle https://chingmath.fr chapExoCorrec/8921 sacados/8921 ABCDEFGH−i−k−j chapExoCorrec/2778 sacados/2778 chapExoCorrec/8893 sacados/8893 IJKABCDEFGH chapExoCorrec/8920 sacados/8920 ABCDEFGH
E.4082 L’espace est rapporté à un repère O ; −→ i ; −→ j ; −→ k orthonormé direct. On considère les points : A − 2 ; 0 ; 1 ; B 1 ; 2 ; − 1 ; C − 2 ; 2 ; 2 1 Calculer le produit scalaire −−→ AB ·−→ AC puis les longueurs AB et AC . 2 En déduire la mesure de l’angle BAC , arrondie au degré près. 3 Justifier que les points A , B et C ne sont pas alignés. E.4310 Dans un repère orthonormé de l’espace, on considère les trois points : E 2 ; 1 ; − 3 ; F 1 ; − 1 ; 2 ; G − 1 ; 3 ; 1 Indiquer si l’affirmation suivante est vraie ou fausse en justi-fiant votre réponse : une mesure en degré de l’angle géométrique FEG , arrondie au degré, est 50 o . E.6967 On considère un cube ABCDEFGH dont la représentation en perspective caval-ière est donnée ci-dessous : Les arêtes sont de longueur 1 . L’espace est rapporté au repère orthonormé D ; −−→ DA ; −−→ DC ; −−→ DH À tout réel x de l’intervalle 0 ; 1 , on associe le point M du segment [ DF ] tel que : −−→ DM = x · −−→ DF On s’intéresse à l’évolution de la mesure „ en radian de l’angle EMB lorsque le point M parcourt le segment [ DF ] . On a: 0 „ ı 1 Que vaut „ si le point M est confondu avec le point D ? avec le point F ? 2 On admet que le point M a pour coordonnées M ( x ; x ; x ) . Montrer que : cos( „ )= 3 · x 2 − 4 · x +1 3 · x 2 − 4 · x +2 (On pourra pour cela s’intéresser au produit scalaire des vecteurs −−→ ME et −−→ MB ) E.10377 Dans l’espace muni d’un repère or-thonormé, on considère les trois points : A 5 ; − 3 ; 1 ; B 1 ; 2 ; 3 ; C 4 ; − 3 ; − 1 1 Démontrer que le triangle ABC est rectangle en A . 2 Calculer le produit scalaire −−→ BA · −−→ BC puis les longueurs AB et BC . 3 En déduire la mesure en degrés de l’angle ABC arrondie au degré. E.10378 Dans l’espace muni d’un repère or-thonormé, on considère les trois points : A − 2 ; 4 ; 0 ; B 8 ; − 5 ; 1 ; C − 3 ; 3 ; 1 1 Démontrer que le triangle ABC est rectangle en A . 2 Calculer le produit scalaire −−→ BA · −−→ BC puis les longueurs AB et BC . 3 En déduire la mesure en degrés de l’angle ABC arrondie au degré. E.10379 Dans l’espace muni d’un repère or-thonormé, on considère les trois points : A 1 ; − 3 ; − 5 ; B 0 ; 2 ; − 2 ; C 1 ; − 3 ; − 5 1 Démontrer que le triangle ABC est rectangle en A . 2 Calculer le produit scalaire −−→ BA · −−→ BC puis les longueurs AB et BC . 3 En déduire la mesure en degrés de l’angle ABC arrondie au degré. 10. Vecteurs normaux à un plan E.5411 Définition: soit P un plan de l’espace admettant les vecteurs −→ u et −→ v non colinéaires pour vecteurs directeurs. Un vecteur −→ n est dit normal au plan P s’il est orthogonal à chacun des vecteurs −→ u et −→ v . Dans l’espace muni d’un repère O ; −→ i ; −→ j ; −→ k orthonormé, on considère les trois points A , B et C de coordonnées : A 0 ; 1 ; − 1 ; B 1 ; − 1 ; − 8 ; C − 1 ; 0 ; 0 1 Déterminer les produits scalaires −−→ AB ·−→ u et −→ AC ·−→ u . 2 Que peut-on dire du vecteur −→ u 3 ; − 2 ; 1 relativement au plan ( ABC ) . E.5412 Dans l’espace muni d’un repère O ; −→ i ; −→ j ; −→ k orthonormé, on considère les trois points A , B et C de coordonnées : A 1 ; 0 ; 0 ; B 1 ; 1 ; 1 ; C 7 ; 2 ; − 1 Montrer que le vecteur −→ u − 1 ; 2 ; − 2 est un vecteur normal au plan ( ABC ) . https://chingmath.fr chapExoCorrec/4082 sacados/4082 Extrait de Nouvelle-Caledonie Mars 2011 chapExoCorrec/4310 sacados/4310 chapExoCorrec/6967 sacados/6967 Extrait Liban Juin 2017 ABCDEFGHM sacados/10377 sacados/10378 sacados/10379 chapExoCorrec/5411 sacados/5411 chapExoCorrec/5412 sacados/5412
E.8900 ABCDEFGH désigne un cube de côté 1 . Le point I est le milieu du segment [ BF ] . Le point J est le milieu du segment [ BC ] . Le point K est le milieu du segment [ CD ] . Ci-dessus est représenté le plan ( IJK ) . L’espace est rapporté au repère A ; −−→ AB ; −−→ AD ; −→ AE . 1 Donner les coordonnées A , G , I , J et K dans ce repère. 2 Montrer que le vecteur −→ AG est normal au plan ( IJK ) . 11. Déterminer un vecteur normal à un plan E.8919 Dans le plan muni d’un repère O ; −→ i ; −→ j ; −→ k orthonormé, on considère un plan ( P ) admet-tant les vecteurs −→ u 2 ; 1 ; 1 et −→ v 2 ; − 1 ; − 2 non colinéaires pour vecteurs directeurs. Soit −→ n ( x ; y ; z ) un vecteur normal au plan ( P ) . 1 Montrer que les coordonnées du vecteur −→ n vérifient le système : 2 x + y + z = 0 2 x − y − 2 z = 0 2 On note −→ n le vecteur normal au plan ( P ) ayant 1 pour cote et on note ses coordonnées : −→ n x ; y ; 1 a Déterminer les coordonnées du vecteur −→ n . b Proposer un vecteur −→ n  normal au plan ( P ) à coor-données entières. E.5415 Dans l’espace muni d’un repère O ; −→ i ; −→ j ; −→ k , on considère les trois points A , B et C de coordonnées : A 2 ; − 1 ; − 1 ; B − 1 ; 3 ; 1 ; C 1 ; 1 ; − 1 1 Montrer que les points A , B et C définissent un plan. 2 Déterminer un vecteur −→ u non-nul à coordonnées entières et orthogonal au plan ( ABC ) . E.8901 L’espace est rapporté au repère or- thonormé O ; −→ i ; −→ j ; −→ k . Pour chacune des questions, déterminer les coordonnées d’un vecteur −→ n non-nul et orthogonal aux deux vecteurs −→ u et −→ v : −→ u 5 ; 0 ; 1 et −→ v − 1 ; 1 ; 2 . E.8902 On considère le parallélépipède rect-angle ABCDEFGH représenté ci-dessous : Les points I et J sont les milieux respectifs des segments [ AE ] et [ AB ] . Les milieux des différentes arêtes sont représentés sur la figure. 1 Représenter la section du plan ( DIF ) et du paral-lélépipède. Justifier votre construction. 2 On munit le plan du repère A ; −→ AJ ; −−→ AD ; −→ AE or-thonormé. Déterminer un vecteur −→ n , à coordonnées en-tières, normal au plan ( DIF ) . 12. Projeté orthogonal sur un plan https://chingmath.fr chapExoCorrec/8900 sacados/8900 ABCDEFGHIJK chapExoCorrec/8919 sacados/8919 chapExoCorrec/5415 sacados/5415 chapExoCorrec/8901 sacados/8901 chapExoCorrec/8902 sacados/8902 ABCDEFGHIJ
E.8905 Définition - proposition: Dans l’espace muni, on considère un point A et un plan ( P ) . On appelle projeté orthogonal du point A sur le plan ( P ) , l’unique point M intersection du plan P avec la droite passant par le point A et orthogonale au plan P Corollaire : dans l’espace, on considère un point A et un plan ( P ) . Le projeté H du point A sur le plan ( P ) est l’unique point du point ( P ) tel que la droite ( AH ) est or-thogonale au plan ( P ) . ABCDEFGH est le cube d’arête 1 représenté sur la feuille annexe qui sera complétée et rendue avec la copie. L’espace est rapporté au repère orthonormé A ; −−→ AB ; −−→ AD ; −→ AE . On considère le point I de coordonnées I 1 3 ; 1 3 ; 1 3 . 1 a Établir l’égalité: 1 3 · −−→ DB + 1 3 · −−→ DE = −→ DI b Montrer que le point I appartient au plan ( BDE ) . 2 Montrer que le point I est le projeté du point A sur le plan ( BDE ) . E.8918 Dans le plan muni d’un repère O ; −→ i ; −→ j ; −→ k orthonormé, on considère le point M 5 ; 2 ; − 1 et le plan ( P ) passant par le point A 5 ; − 6 ; − 6 et admettant le vecteur −→ n 2 ; 1 ; 2 pour vecteur normal. Montrer que le point H 1 ; 0 ; − 5 est le projeté orthogonal du point M sur le plan ( P ) . E.8909 On considère le cube ABCDEFGH , d’arête de longueur 1 , et on note I et J les mi-lieux des arêtes [ AB ] et [ CG ] . On utilisera le repère A ; −−→ AB ; −−→ AD ; −→ AE On note M le point de coor-données : M 1 2 ; 2 5 ; 4 5 1 Montrer que le point M est le projeté du point I sur le plan ( EFJ ) 2 Montrer que le volume du tétraèdre EFIJ est égal à 1 6 . E.10380 Dans l’espace muni d’un repère or-thonormé, on considère le point A 1 ; 2 ; 3 et le plan P ad-mettant pour équation : P : 2 · x − 2 · y − 4 · z + 2 = 0 Démontrer que le point H 2 ; 1 ; 1 est le projeté orthogonal du point A sur le plan P . E.10381 Dans l’espace muni d’un repère or-thonormé, on considère le point A − 19 ; 11 ; 6 et le plan P admettant pour équation : P : − 6 · x + 4 · y + z − 5 = 0 Démontrer que le point H − 1 ; − 1 ; 3 est le projeté orthogo-nal du point A sur le plan P . E.10382 Dans l’espace muni d’un repère or-thonormé, on considère le point A 1 ; 2 ; 2 et le plan P ad-mettant pour équation : P : x + 2 · y + 3 · z − 5 = 0 Démontrer que le point H 4 7 ; 8 7 ; 5 7 est le projeté orthogo-nal du point A sur le plan P . E.10383 Dans l’espace muni d’un repère or-thonormé, on considère le point A 3 ; 3 ; 3 et le plan P ad-mettant pour équation cartésienne : 2 · x − y + z + 1 = 0 Déterminer les coordonnées du point H projeté orthogonal du point A sur le plan P . E.10384 Dans l’espace muni d’un repère or-thonormé, on considère le point A 8 3 ; 4 3 ; − 8 3 et le plan P admettant pour équation cartésienne : x + 2 · y − z + 2 = 0 Déterminer les coordonnées du point H projeté orthogonal du point A sur le plan P . E.10385 Dans l’espace muni d’un repère or-thonormé, on considère le point A 2 ; − 3 ; − 3 et le plan P admettant pour équation cartésienne : − 2 · x + y + 4 · z − 2 = 0 Déterminer les coordonnées du point H projeté orthogonal du point A sur le plan P . E.10386 a faire https://chingmath.fr chapExoCorrec/8905 sacados/8905 ABCDEFGHI chapExoCorrec/8918 sacados/8918 chapExoCorrec/8909 sacados/8909 HGFEDCBAIJ sacados/10380 chapExoCorrec/10381 sacados/10381 sacados/10382 sacados/10383 sacados/10384 sacados/10385 sacados/10386 fichierPlus/10386/
13. Distance à un plan E.8910 Proposition: dans l’espace muni, on considère un point A et un plan ( P ) . On note H le projeté orthogonal du point A sur le plan ( P ) . La distance AH a pour valeur: AH = ⏐ ⏐ −−→ AB · −→ n ⏐ ⏐ −→ n Définition: dans l’espace, on considère un point A et un plan ( P ) , on appelle distance du point A au plan ( P ) , la distance du point AH où le point H est le projeté or-thogonal du point A sur le plan ( P ) Dans l’espace muni d’un repère O ; −→ i ; −→ j ; −→ l orthonormé, on considère les quatre points : A 2 ; 2 ; 0 ; B 4 ; − 4 ; 1 ; C 5 ; − 2 ; − 1 ; M 6 ; 4 ; 4 1 Montrer que les points A , B , C sont non-alignés. 2 Montrer que le vecteur −→ n 2 ; 1 ; 2 est un vecteur normal au plan ( ABC ) . 3 Déterminer la distance du point M au plan ( ABC ) . E.8906 On considère un cube ABCDEFGH , d’arête de longueur 1 . On note I le point d’intersection de la droite ( EC ) et du plan ( AFH ) . Dans l’espace, on considère le cube ABCDEFGH représenté ci-dessous et on utilise le repère D ; −−→ DA ; −−→ DC ; −−→ DH or-thonormé. On note I le projeté orthogonal du point E sur le plan ( AFH ) . 1 Justifier que la droite ( EC ) est orthogonale au plan ( AHF ) . 2 Vérifier que la distance du point E au plan ( AFH ) est égale à 3 3 . E.8911 Proposition: Le projeté orthogonal H d’un point A sur un plan P est l’unique point du plan P le plus proche de A . On considère le cube ABCDEFGH représenté ci-dessous et l’espace est rapporté au repère orthonormé A ; −−→ AB ; −−→ AD ; −→ AE . On note I le point de coordonnées 1 3 ; 1 ; 1 et la section par le plan ( FHI ) est représenté grisé. 1 Démontrer que le vecteur −→ n de coordonnées 3 ; − 3 ; 2 est normal au plan ( ACI ) 2 Déterminer la distance du point F au plan. 3 On note H le projeté orthogonal du point F sur le plan ( ACI ) . Montrer que le point H a pour coordonnées : H 7 22 ; 15 22 ; 12 22 14. Projeté orthogonal sur une droite E.8915 Définition - proposition: Dans l’espace, on considère un point A et une droite ( d ) de vecteur directeur −→ u . On appelle projeté orthogonal du point A sur la droite ( d ) , le point d’intersection de la droite ( d ) avec le plan passant par le point A et admettant −→ u pour vecteur normal. Corollaire : dans l’espace, on considère une droite ( d ) et un point A n’appartenant pas à ( d ) . Le projeté orthogonal du point A sur la droite ( d ) est l’unique point M appar-tenant à ( d ) et tel que le vecteur −−→ AM soit orthogonal à tout vecteur directeur de la droite ( d ) . Dans l’espace muni d’un repère O ; ; −→ i ; −→ j orthonormé, on considère les trois points : A 7 ; 3 ; 0 ; B 6 ; − 1 ; − 8 ; C − 4 ; 4 ; 2 On considère le point H 2 ; 1 ; − 4 . https://chingmath.fr chapExoCorrec/8910 sacados/8910 chapExoCorrec/8906 sacados/8906 ABCDEFGHI chapExoCorrec/8911 sacados/8911 IHHGFEDCBA chapExoCorrec/8915 sacados/8915
1 Montrer que le point H appartient à la droite ( BC ) . 2 Établir que H est le projeté orthogonal du point A sur la droite ( BC ) . E.8903 ABCDEFGH désigne un cube de côté 1 , le point I est le milieu du segment [ BF ] et le point J est le milieu du segment [ AG ] . L’espace est rapporté au repère A ; −−→ AB ; −−→ AD ; −→ AE . 1 Établir que le point J est le projeté du point I sur la droite ( AG ) . 2 Déterminer la distance IJ . E.8916 Dans l’espace, on considère la pyra-mide ABCDS à base carrée avec ses faces latérales qui sont toutes des triangles équilatéraux. On note I le milieu du seg-ment [ AB ] . On munit l’espace du repère A ; −−→ AB ; −−→ AD ; −→ k orthonormé direct. 1 Justifier que le vecteur −→ CS a pour coordonnées : −→ CS − 1 2 ; − 1 2 ; 2 2 On note H ( x ; y ; z ) le projeté orthogonal du point A sur la droite ( CS ) . 2 Justifier qu’il existe un réel k permettant d’écrire les co-ordonnées du point H : H − 1 2 · k +1 ; − 1 2 · k +1 ; 2 2 · k 3 En déduire les coordonnées du point H . 15. Distance à une droite E.8912 Proposition: dans l’espace muni d’un repère orthonormé, on considère une droite ( d ) passant par un point A et ad-mettant −→ u pour vecteur directeur et B un autre point du plan. En notant H le projeté du point B sur la droite ( d ) , on a: BH = −−→ BA − −−→ BA · −→ u −→ u 2 −→ u Définition: dans l’espace muni d’un repère orthonormé, on considère une droite ( d ) et un point B de l’espace. On appelle distance du point B à la droite ( d ) , la distance BH où H est le projeté du point B sur la droite ( d ) . L’espace est rapporté à un repère O ; −→ i ; −→ j ; −→ k orthonormé et on considère les points A , B et C dont les coordonnées sont : A 5 ; 0 ; 1 ; B − 5 ; 2 ; 8 ; C 7 ; − 4 ; − 4 Établir que le point A est à une distance de 3 de la droite ( BC ) . E.8914 Proposition: le projeté orthogonal H du point A sur la droite ( d ) est l’unique point de la droite ( d ) le plus proche du point A . L’espace est rapporté à un repère O ; −→ i ; −→ j ; −→ k orthonormé et on considère les points A , B et C dont les coordonnées sont : A 3 ; 4 ; − 7 ; B − 5 ; − 1 ; − 6 ; C − 1 ; − 3 ; − 2 On désigne par H le projeté orthogonal du point A sur la droite ( BC ) . 1 Déterminer la distance du point A à la droite ( BC ) . 2 Établir que le point H a pour coordonnées : H − 3 ; − 2 ; − 4 https://chingmath.fr sacados/8903 ABCDEFGHIJ chapExoCorrec/8916 sacados/8916 ABCDSI chapExoCorrec/8912 sacados/8912 chapExoCorrec/8914 sacados/8914
E.8907 ABCDEFGH désigne un cube de côté 1 , le point I est le milieu du segment [ BF ] . L’espace est rapporté au repère A ; −−→ AB ; −−→ AD ; −→ AE . Déterminer la distance du point I à la droite ( AG ) . E.8904 On considère le cube ABCDEFGH représenté sur la feuille annexe. Dans tout l’exercice, l’espace est rapporté au rep‘ère orthonormé A ; −−→ AB ; −−→ AD ; −→ AE . On note I le point de coordonnées 1 3 ; 1 ; 1 et R le projeté orthogonal de I sur la droite ( AC ) . 1 Établir que : IR = 11 3 . 2 Le point R appartenant à la droite ( AC ) , il existe un réel t tel que : −→ AR = t · −→ AC a Exprimer les coordonnées du point R en fonction de t . b À l’aide de la question 1 , déterminer les coordonnées du point R . E.4100 L’espace est rapporté à un repère orthonormé O ; −→ i ; −→ j ; −→ k . Les points A , B et C ont pour coordonnées respectives : A 1 ; − 2 ; 4 ; B − 2 ; − 6 ; 5 ; C − 4 ; 0 ; − 3 On désigne par H le projeté orthogonal du point O sur la droite ( BC ) . Soit t le réel tel que : −−→ BH = t · −−→ BC 1 Démontrer que : t = −−→ BO · −−→ BC −−→ BC 2 2 En déduire le réel t et les coordonnées du point H . 16. Produit scalaire et relation vectorielle E.4094 On considère un tétraèdre ABCD et on note H le projeté orthogonal du point A sur le plan ( BCD ) . Démontrer que, si les hauteurs du tétraèdre ABCD issues des points A et B sont concourantes, alors la droite ( BH ) est une hauteur du triangle BCD . 17. Exercices non-classés E.4247 On considère un cube ABCDEFGH d’arête de longueur 3 . On choisit le repère orthonormé D ; −→ i ; −→ j ; −→ k tel que : −→ i = 1 3 · −−→ DA ; −→ j = 1 3 · −−→ DC ; −→ k = 1 3 · −−→ DH https://chingmath.fr chapExoCorrec/8907 sacados/8907 ABCDEFGHI chapExoCorrec/8904 sacados/8904 HGFEDCBAIIR sacados/4100 chapExoCorrec/4094 sacados/4094 sacados/4247 Extrait de Polynesie Septembre 2007 HGFEDCBA
1 Déterminer les coordonnées du point L barycentre du système ( C ; 2) ; ( E ; 1) . On admet que les vecteurs −→ AE et −→ DL ont les coordonnées suivantes : −→ AE 0 ; 0 ; 3 ; −→ DL 1 ; 2 ; 1 Soit ( a ; b ) un couple de réels. On note M le point de la droite ( AE ) tel que : −−→ AM = a · −→ AE et N le point de la droite ( DL ) tel que : −−→ DN = b · −→ DL 2 Montrer que les vecteurs −−→ MN est orthogonal aux vecteurs −→ AE et −→ DL si et seulement si le couple ( a ; b ) vérifie le système : − a + 2 b = 1 3 a − b = 0 3 En déduire qu’il existe un seul point M 0 de ( AE ) et un seul point N 0 de ( DL ) tels que la droite ( M 0 N 0 ) est or-thogonale aux droites ( AE ) et ( DL ) . 4 Déterminer les coordonnées des points M 0 et N 0 puis calculer la distance M 0 N 0 . E.4034 L’espace est rapporté au repère orthonormé O ; −→ i ; −→ j ; −→ k . La sphère de centre A 1 ; 1 ; 1 et de rayon 10 est tangente au plan P d’équation x + y + z =0 . E.4110 L’espace est rapporté au repère or-thonormé O ; −→ i ; −→ j ; −→ k . On considère un plan ( P ) admettant les vecteurs −→ u et −→ v non colinéaires pour vecteurs directeurs et dont les coordonnées sont : −→ u 2 ; − 1 ; 3 et −→ v − 1 ; 1 ; 1 . On note −→ n ( x ; y ; z ) un vecteur normal au plan ( P ) 1 Justifier que les coordonnées du vecteur −→ n sont solutions du système d’équations : 2 x − y + 3 z = 0 − x + y + z = 0 2 a En choisissant z =1 , déterminer les coordonnées de l’unique vecteur −→ n 1 normal au plan et dont la côte vaut 1 . b Déterminer les coordonnées d’un autre vecteur −→ n nor-mal au plan ( P ) . c Que peut-on dire des vecteurs −→ n 1 et −→ n ? E.4130 On considère l’espace muni d’un repère O ; −→ i ; −→ j ; −→ j orthonormé. On considère la droite ( d ) passant par le point A 1 ; − 2 ; 3 et admettant le vecteur −→ u − 2 ; 0 ; 1 pour vecteur directeur. Soit M le point de l’espace de coordonnées 1 ; − 1 ; 13 , déter-miner les coordonnées du projeté H du point M sur la droite ( d ) . E.8908 On considère l’espace muni d’un repère O ; −→ i ; −→ j ; −→ j orthonormé. Soit ( P ) le plan admettant pour équation cartésienne : 3 · x − y + 2 · z = 0 On considère le point N 15 ; 1 ; 6 . Déterminer les coordon-nées du point I projeté orthogonal du point N dans le plan ( P ) . https://chingmath.fr sacados/4034 Extrait Antilles-Guyane Septembre 2010 chapExoCorrec/4110 sacados/4110 chapExoCorrec/4130 sacados/4130 chapExoCorrec/8908 sacados/8908