Terminale Spécialité / Primitives et équations différentielles 58 exercices corrigés

a
1. Introduction aux primitives E.3575 On considère quatre fonctions ’ , f , g , h définies sur l’intervalle − 4 ; 4 . Leurs courbes représentatives sont données, ci-dessous, dans un même repère orthonormé : Quelle fonction, parmi f , g et h , peut admettre la fonction ’ comme fonction dérivée? E.3560 Soit f une fonction dérivable sur l’intervalle − 4 ; 4 et admettant la fonction f comme dérivée. Dans le repère ci-dessous, est tracée la courbe représentative de la fonction f . 1 a Quelle est la valeur du nombre dérivée de la fonction f en 1 ? b Donner le coefficient directeur de toutes les tangentes représentées sur la droite d’équation x =1 . 2 Tracé une représentation ˇ possible ı de la fonction f dans ce repère. E.3561 On considère une fonction f dérivable sur − 4 ; 4 . Dans le repère orthonormé O ; I ; J ci-dessous est donnée la courbe représentative C f de la fonction f dérivée de la fonction f . 1 a Quelle est le nombre dérivé de la fonction f en − 2 ? b Tout au long de la droite d’équation x = − 2 sont représentés des tangentes ; quel est le coefficient de ces tangentes. 2 Tracer une courbe représentative C f acceptable de la fonction f dont les tangentes aux points d’abscisses − 4 , − 2 , 0 , 2 , 4 sont, dans chaque cas, une des tangentes pro-posées sur le graphique. 2. Equation différentielle: y = f E.6911 Compléter les pointillés: 1 On note f une fonction vérifiant : f ( x )=2 · x . Une expression possible de f est : f ( x ) = : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 On note g une fonction vérifiant : g ( x )= x 2 . Une expression possible de g est : g ( x ) = : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 On note h une fonction vérifiant : h ( x )= − 2 . Une expression possible de h est : h ( x ) = : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 On note j une fonction vérifiant : j ( x )= 1 x 2 . Une expression possible de j est : https://chingmath.fr chapExoCorrec/3575 sacados/3575 Cϕ Cf Cg Ch chapExoCorrec/3560 sacados/3560 -4-3-2-1234I-4-3-2-1234JO chapExoCorrec/3561 sacados/3561 -4-3-2-1234I-4-3-2-1234JOCf chapExoCorrec/6911 sacados/6911
j ( x ) = : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 On note k une fonction vérifiant : k ( x )= − 1 x . Une expression possible de k est : k ( x ) = : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 On note ‘ une fonction vérifiant : ‘ ( x )=e x . Une expression possible de ‘ est : ‘ ( x ) = : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 On note m une fonction vérifiant : m ( x )= 1 x . Une expression possible de m est : m ( x ) = : : : : : : : : : : : : : : : : : : E.5206 Pour chaque question, déterminer l’expression d’une fonction f admettant pour dérivée l’expression proposée : a f ( x ) = 3 b f ( x ) = 2 x + 1 c f ( x ) = x 3 d f ( x ) = − 2 x e f ( x ) = 1 √ x f f ( x ) = e 2 x E.6912 Donner une primitive de chacune des fonctions ci-dessous : a f ( x ) = 2 · x + 1 b g ( x ) = 1 − 3 x c h ( x ) = 1 x + 1 x 2 d j ( x ) = e 2 · x E.4292 On considère la fonction f définie sur 0 ; + ∞ par : f ( x ) = ln( x ) + 1 − 1 x 1 Déterminer les limites de la fonction f aux bornes de son ensemble de définition. 2 Étudier les variations de la fonction f sur l’intervalle 0 ; + ∞ . 3 Déterminer l’image de 1 par la fonction f . En déduire le signe de f ( x ) lorsque x décrit l’intervalle 0 ; + ∞ . 4 Montrer que la fonction F définie sur l’intervalle 0 ; + ∞ par : F ( x ) = x · ln x − ln x est une primitive de la fonction f sur cet intervalle. 5 Démontrer que la fonction F est strictement croissante sur l’intervalle 1 ; + ∞ . 6 Montrer que l’équation F ( x )=1 − 1 e admet une unique solution dans l’intervalle 1 ; + ∞ qu’on notera ¸ . 7 Donner un encadrement de ¸ d’amplitude 10 − 1 . E.4301 Soit f la fonction définie sur R par : f ( x )= 4 1+7 · e − x 1 Vérifier que pour tout réel x : f ( x )= 4 · e x e x +7 2 Déterminer une primitive de la fonction f sur R . 3 Calculer la valeur moyenne de f sur l’intervalle 0 ; ln7 . 3. Détermination d’une primitive d’une fonction de référence E.5207 Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes : a f ( x ) = 2 x + 1 b g ( x ) = 1 − 3 x c h ( x ) = 2 x 2 d i ( x )= x 2 + x +1 e j ( x ) = 4 x 3 f k ( x ) = 1 − 2 x 2 E.3992 Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes : a f ( x ) = − 1 x 2 b g ( x ) = 2 x 2 c h ( x ) = 1 2 · √ x d j ( x ) = 2 √ x e k ( x ) = 1 x f ‘ ( x ) = − 1 2 x g m ( x ) = e x h n ( x ) = 3e x i p ( x ) = − e x 4. Détermination d’une primitive de la composée de fonctions E.5209 Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes : a f ( x ) = ( x + 3) 4 b g ( x ) = (2 − x ) 3 c h ( x ) = (2 x − 3) 2 d j ( x ) = x · ( x 2 + 1) 6 e k ( x ) = 3 x 2 · ( x 3 − 2) 3 f ‘ ( x ) = x 4 · (1 − x 5 ) 2 E.3930 Déterminer une primitive pour chacune des fonctions suivantes : a f ( x ) = − 3 · x 2 + 2 · x − 1 b g ( x ) = 3 · x 5 + 1 c h ( x ) = (3 + x ) 2 d j ( x ) = (2 − x ) 3 e k ( x ) = (5 x + 1) 3 f ‘ ( x ) = x 3 · x 4 + 1 4 https://chingmath.fr chapExoCorrec/5206 sacados/5206 chapExoCorrec/6912 sacados/6912 chapExoCorrec/4292 sacados/4292 chapExoCorrec/4301 sacados/4301 chapExoCorrec/5207 sacados/5207 chapExoCorrec/3992 sacados/3992 chapExoCorrec/5209 sacados/5209 chapExoCorrec/3930 sacados/3930
E.5214 Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes : a f ( x ) = x 2 · ( x 3 − 5) 5 b g ( x ) = x x 2 + 1 c h ( x ) = 6 x + 2 (3 x 2 + 2 x − 5) 2 d j ( x ) = 6 x + 2 3 x 2 + 2 x − 5 E.5211 Déterminer une primitive des fonctions suivantes : a f ( x ) = e 3 x +1 b g ( x ) = x · e x 2 c h ( x ) = e 1 x x 2 d j ( x ) = e √ x x e k ( x ) = e x +1 x x 2 f ‘ ( x ) = e ln( x )+1 x E.5221 Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes : a f ( x ) = 3 x − 5 x 5 b g ( x ) = 1 x − x c h ( x ) = x · 2 x 2 − 3 4 d j ( x ) = 2 − x x 2 − 4 x e k ( x ) = 6 x + 2 3 x 2 + 2 x − 3 f ‘ ( x ) = x · e x 2 E.3931 Déterminer une primitive pour chacune des fonctions suivantes : a f ( x ) = x + 1 + 1 x + 1 x 2 b g ( x ) = 1 x + 1 2 c h ( x ) = 1 x + 1 d j ( x ) = x x 2 + 1 2 e ‘ ( x ) = x x + 1 f m ( x ) = 6 x + 1 3 · x 2 + x − 5 2 g n ( x ) = − 3 (3 x + 2) 2 h p ( x ) = 6 x + 1 6 · x 2 + 2 · x + 2 E.5210 Déterminer une primitive des fonctions ci-dessous : 1 f ( x ) = 2 2 x + 3 2 g ( x ) = 1 1 − 3 x 3 h ( x ) = x x 2 + 1 4 j ( x ) = − 1 (1 + x ) 2 5 k ( x ) = 2 (3 x + 1) 2 6 ‘ ( x ) = x x 4 + 2 x 2 + 1 E.10393 Soit f une fonction continue sur un in-tervalle I . On définit la fonction g sur l’intervalle I par : g ( x ) = f 3 · x pour x ∈ I . On note F et G les primitives respectivement des fonctions f et g sur l’intervalle I . Parmi les relations ci-dessous, laquelle est vérifiée par les fonc-tions F et G : a G ( x ) = F ( x ) + 3 b G ( x ) = 1 3 · F ( x ) c G ( x ) = F ( x ) − 3 d G ( x ) = 3 · F ( x ) 5. Quelques primitives particulières E.6006 1 On considère la fonction f définie sur R par la relation: f ( x ) = x − 1 · e x Déterminer l’expression de la fonction f dérivée de la fonction f . 2 En déduire l’expression d’une primitive de la fonction g définie sur R par : g ( x ) = x · e x E.6005 1 On considère la fonction f définie sur R + par l’expression : f ( x ) = 2 3 · x · √ x Déterminer l’expression de la dérivée f de la fonction f . 2 En déduire l’expression d’une primitive de la fonction racine carrée. E.5212 On considère la fonction f définie par : f ( x ) = x · ln x − x 1 Déterminer l’expression de la fonction dérivée f . 2 En déduire l’expression des primitives de la fonction log-arithme népérien. 6. Recherche d’une primitive E.5222 Soit g la fonction définie sur l’intervalle 1 ; + ∞ par : g ( x ) = 1 x ( x 2 − 1) 1 Déterminer les nombres réels a , b et c tels que l’on ait, pour tout x> 1 : g ( x ) = a x + b x + 1 + c x − 1 2 Trouver une primitive G de g sur l’intervalle 1 ; + ∞ . https://chingmath.fr chapExoCorrec/5214 sacados/5214 chapExoCorrec/5211 sacados/5211 chapExoCorrec/5221 sacados/5221 chapExoCorrec/3931 sacados/3931 chapExoCorrec/5210 sacados/5210 sacados/10393 chapExoCorrec/6006 sacados/6006 chapExoCorrec/6005 sacados/6005 chapExoCorrec/5212 sacados/5212 chapExoCorrec/5222 sacados/5222
E.6004 On considère la fonction f définie sur R par la relation: f ( x ) = 4 · e 2 x +2 − e x +1 e 2 x +2 − 1 1 Montrer que la fonction f admet pour expression : f ( x ) = 3 · e 2 x +2 e 2 x +2 − 1 + e x +1 e x +1 + 1 (Indication : on pensera à factoriser e 2 x +2 − 1 ) 2 En déduire l’expression d’une primitive de la fonction f . 7. Détermination d’une primitive avec condition initiale E.5223 Pour chaque question, déterminer la primitive de la fonction vérifiant la condition proposée : a f ( x ) = x 2 · ( x 3 + 2) 4 ; F ( − 1) = 1 b g ( x ) = x 3 x 2 − 2 ; G (3) = ln 5 c h ( x ) = x x ; H (4) = 3 d j ( x ) = ( x + 1)e x 2 +2 x ; J (1) = e 3 E.3950 Pour chaque question, déterminer la primitive de la fonction vérifiant la condition proposée : a f ( x ) = x 2 − 2 · x + 4 x ; F (1) = 2 b g ( x ) = x · e x 2 ; G (1) = 3 · e c h ( x ) = 5 (4 · x − 3) 2 ; H (1) = 1 d j ( x ) = 2 · x − 3 x 2 − 2 x + 1 ; J (0) = − 2 E.6917 On considère les deux fonctions f et g définie sur R par : f ( x )=ln x 2 +1 ; g ( x )=ln 2 · x 2 +2 1 Déterminer l’image de 0 par chacune de ces deux fonc-tions. 2 Établir que ces deux fonctions sont des primitives d’une même fonction qu’on précisera. 8. Equations différentielles: exemples de solutions E.3647 On considère l’équation différen-tielle: ( E ): y + y =e − x Montrer que la fonction u définie sur l’ensemble des nombres réels R par u ( x )= x · e − x est une solution de l’équation dif-férentielle. E.3663 1 Déterminer l’expression de la fonction f vérifiant l’équation différentielle suivante : f = f f (0) = 2 Justifier votre réponse. 2 Déterminer l’expression de la fonction g vérifiant l’équation différentielle suivante : g = 2 · g g (0) = 1 Justifier votre réponse. 3 Déterminer l’expression de la fonction h vérifiant l’équation différentielle suivante : h = 2 · h h (0) = 2 Justifier votre réponse. https://chingmath.fr chapExoCorrec/6004 sacados/6004 chapExoCorrec/5223 sacados/5223 chapExoCorrec/3950 sacados/3950 chapExoCorrec/6917 sacados/6917 sacados/3647 chapExoCorrec/3663 sacados/3663
E.3664 1 On considère l’équation différentielle: ( E ) : y + y = e − x Montrer que la fonction u définie sur l’ensemble des nom-bres réels R par : u ( x ) = x · e − x est une solution de l’équation différentielle ( E ) . 2 Soit f la fonction définie sur R par : f ( x ) = 9 2 · e − 2 x − 3 · e − 3 x Montrer que la fonction f vérifie l’équation différentielle: y + 2 y = 3 · e − 3 x E.3673 On cherche à déterminer l’ensemble des fonctions f , définies et dérivables sur l’intervalle 0 ; + ∞ vérifiant la condition ( E ) : pour tout nombre réel x strictement positif : x · f ( x ) − f ( x ) = x 2 · e 2 x 1 Montrer que si une fonction f , définie et dérivable sur l’intervalle 0 ; + ∞ , vérifie la condition ( E ) , alors la fonc-tion g définie sur l’intervalle 0 ; + ∞ par : g ( x ) = f ( x ) x vérifie: ( E ) : pour tout nombre réel x strictement positif : g ( x ) = e 2 x 2 Conjecturer l’expression des fonctions g vérifiant : g ( x ) = e 2 x 3 Quelle est la fonction définie et dérivable sur l’intervalle 0 ; + ∞ qui vérifie la condition ( E ) et qui s’annule en 1 2 ? E.3690 Pour tout réel k positif ou nul, on considère la fonction f k définie sur R par : f k ( x ) = x + 1 − k · e x 1 + k · e x 1 Justifier que, pour tout réel k positif ou nul, la fonction f k est solution de l’équation différentielle: ( E ) : 2 · y = ( y − x ) 2 + 1 . 2 En déduire le sens de variations de f k sur R . E.8474 On considère l’équation différen-tielle: y + 3 · y x = 1 et la fonction f définie sur R ∗ par : f ( x )= 1 x 3 + x 4 Montrer que la fonction f est une solution de cette équation différentielle. E.8475 On considère l’équation différentielle: 2 · y + x · y =0 Montrer que la fonction f définie sur R ci-dessous est solution de cette équation différentielle: f ( x ) = e − x 2 4 9. Equations differentielles: y = ay E.3679 Résoudre sur R les équations différen-tielles: a y = − 3 y b y − y = 0 c 5 y − 2 y = 0 d y = − 3 y E.3680 Pour chaque question, déterminer la valeur de a ∈ R afin que la fonction f soit une solution de l’équation différentielle: y = a · y a f ( x ) = − 3 · e 4 x b f ( x ) = 4 · e 0 , 2 x E.3681 Déterminer les solutions des équations différentielles suivantes : a y − 3 y = 0 ; f (0) = 2 b 2 y + 3 y = 0 ; f (0) = − 1 c 3 y − 2 y = 0 ; f 3 2 = 2 d y − 3 y = 0 ; f (6) = e 3 E.3683 Dans le repère ci-dessous est représen-tée quatre courbes représentatives de fonctions vérifiant l’équation différentielle: y = a · y pour a ∈ R . En observant les tangentes à ces courbes au point d’abscisse 0 , déterminer l’équation différentielle vérifiée par chacune de ces fonctions. https://chingmath.fr chapExoCorrec/3664 sacados/3664 chapExoCorrec/3673 sacados/3673 chapExoCorrec/3690 sacados/3690 chapExoCorrec/8474 sacados/8474 chapExoCorrec/8475 sacados/8475 chapExoCorrec/3679 sacados/3679 chapExoCorrec/3680 sacados/3680 chapExoCorrec/3681 sacados/3681 chapExoCorrec/3683 sacados/3683 -2-1I-12JOCfCgChCk
E.3682 Dans le repère ci-dessous est représen-tée quatre courbes représentatives de fonctions vérifiant l’équation différentielle: y = y Déterminer les conditions initiales définissant chacune de ces fonctions. 10. Equations differentielles: y = ay + b E.3692 Résoudre les équations différentielles suivantes : a y + y = 2 b y − 3 · y = − 3 c 6 · y = 3 · y + 2 d 5 · y = 3 2 · y + 1 3 E.3693 Résoudre les équations différen- tielles suivantes : a 4 · y − y = 4 ; y (1) = e b 15 · y + 24 · y = 12 ; y 5 4 = 2 c − 3 2 · y + 1 4 · y = − 1 ; y (3) = 6 + 2 · e 11. Equations différentielles: y = ay + f E.3685 On considère la fonction f définie sur l’intervalle 0 ; + ∞ par : f ( x ) = ln e 2 x − 1 e x Vérifier que f est solution de l’équation différentielle: y + y = e x e x − 1 − e x e x + 1 E.3686 Soit f la fonction définie sur R par : f ( x ) = e − 2 x · ln 1 + 2 · e x On considère l’équation différentielle: ( E ) : y + 2 · y = 2 · e − x 1 + 2 · e x 1 Vérifier que la fonction f est solution de ( E ) . 2 Montrer qu’une fonction ’ est solution de ( E ) si, et seule-ment si, ’ − f est solution de l’équation différentielle: ( E ) : y + 2 y = 0 . 3 Résoudre ( E ) et en déduire les solutions de ( E ) . E.4304 On considère les deux équations différentielles: ( E ) : y + y = e − x ( E ) : y + y = 0 1 Montrer que la fonction u définie sur l’ensemble des nombres réels R par u ( x )= x · e − x est une solution de l’équation différentielle ( E ) . 2 Résoudre l’équation différentielle ( E ) . 3 Soit v une fonction définie et dérivable sur R . Montrer que la fonction v est solution de l’équation différentielle ( E ) si, et seulement si, la fonction v − u est solution de l’équation différentielle ( E ) . 4 En déduire toutes les solutions de l’équation différentielle ( E ) . 5 Déterminer l’unique solution g de l’équation différentielle ( E ) telle que g (0) = 2 . https://chingmath.fr chapExoCorrec/3682 sacados/3682 -2-1I-12JOCfCgChCk chapExoCorrec/3692 sacados/3692 chapExoCorrec/3693 sacados/3693 Extrait de repere - Hachette chapExoCorrec/3685 sacados/3685 chapExoCorrec/3686 sacados/3686 Antilles-Guyane Septembre 2000 sacados/4304
E.3655 Soit f la fonction définie sur R par : f ( x ) = 9 2 · e − 2 x − 3 · e − 3 x Soit l’équation différentielle: ( E ): y +2 y =3e − 3 x . 1 Résoudre l’équation différentielle: ( E ): y +2 y =0 . 2 En déduire que la fonction h définie sur R par : h ( x ) = 9 2 · e − 2 x est solution de ( E ) . 3 Vérifier que la fonction g définie sur R par : g ( x ) = − 3e − 3 x est solution de l’équation ( E ) . 4 En remarquant que f = g + h , montrer que f est une solu-tion de ( E ) . E.3678 La fonction f est définie sur l’intervalle 0 ; + ∞ par : f ( x ) = 20 x + 10 · e − 1 2 x On note y ( t ) la valeur, en degré Celsius, de la température d’une réaction chimique à l’instant t , t étant exprimé en heures. La valeur initiale, à l’instant t =0 , est y (0)=10 . On admet que la fonction qui, à tout réel t appartenant à l’intervalle 0 ; + ∞ associe y ( t ) , est solution de l’équation différentielle ( E ) : ( E ) : y + 1 2 y = 20 · e − 1 2 t 1 Vérifier que la fonction f est solution de l’équation dif-férentielle ( E ) sur l’intervalle 0 ; + ∞ . 2 On se propose de démontrer que cette fonction f est l’unique solution de l’équation différentielle ( E ) , définie sur l’intervalle 0 ; + ∞ , qui prend la valeur 10 à l’instant 0 . a On note g une solution quelconque de l’équation dif-férentielle ( E ) , définie sur 0 ; + ∞ vérifiant g (0)= 10 . Démontrer que la fonction g − f est solution, sur l’intervalle 0 ; + ∞ de l’équation différentielle: ( E ) : y + 1 2 · y = 0 b Résoudre l’équation différentielle ( E ) . c Conclure. E.3684 Partie A - Résolution d’une équation différentielle. On considère l’équation différentielle: y − 2 y = e 2 x ; ( E ) 1 Démontrer que la fonction u définie sur R par : u ( x ) = x · e 2 x est une solution de ( E ) . 2 Résoudre l’équation différentielle: y − 2 · y = 0 ( E 0 ) 3 Démontrer qu’une fonction v définie sur R est solution de ( E ) si et seulement si v − u est solution de ( E 0 ) . 4 En déduire toutes les solutions de l’équation ( E ) . 5 Déterminer la fonction, solution de ( E ) , qui prend la valeur 1 en 0 . Partie B - Étude d’une fonction. Le plan est rapporté au repère orthonormé O ; −→ i ; −→ j . Soit la fonction f définie sur R par : f ( x ) = x + 1 · e 2 x On note C la courbe représentative de f dans le repère O ; −→ i ; −→ j . 1 Étudier la limite de f en + ∞ puis la limite de f en −∞ . 2 Soit x un nombre réel. Calculer f ( x ) . Étudier les variations de f puis dresser son tableau de variations. Préciser le signe de f ( x ) pour tout réel x . Partie C - Résolution d’une équation. 1 Montrer que l’équation f ( x )=2 admet une solution unique x 0 dans l’intervalle 0 ; 2 ; 0 ; 3 . 2 Recopier, puis compléter le tableau suivant : x 0 ; 05 0 ; 1 0 ; 15 0 ; 2 0 ; 25 0 ; 3 f ( x ) Les valeurs de f ( x ) seront arrondies avec une précision de 10 − 2 près par défaut. 3 Sur le papier millimétré ci-dessous, où les unités sont de 10 cm en abscisses et 5 cm en ordonnées, tracer l’arc de la courbe C pour x appartenant à 0 ; 0 ; 3 . Faire apparaître x 0 sur le graphique. E.3687 On cherche à résoudre l’équation différentielle: (1) : y − 2 y = x · e x 1 Résoudre l’équation différentielle: (2) : y − 2 y = 0 , où y désigne une fonction dérivable sur R . 2 Soit a et b deux réels et soit u la fonction définie sur R par : u ( x ) = a · x + b · e x a Déterminer a et b pour que u soit solution de l’équation (1) . b Montrer que v est une solution de l’équation (2) si, et seulement si, u + v est solution de (1) . c En déduire l’ensemble des solutions de (1) . 3 Déterminer la solution de l’équation (1) qui s’annule en 0 . E.3966 On considère l’équation différen-tielle: ( E ): y =2 · y +cos x 1 Déterminer deux nombres réels a et b tels que la fonction f 0 définie sur R par : f 0 ( x )= a · cos x + b · sin x soit une solution f 0 de ( E ) . 2 Résoudre l’équation différentielle: ( E 0 ) : y =2 · y . 3 Démontrer que f est solution de ( E ) si, et seulement si, f − f 0 est solution de ( E 0 ) . 4 En déduire les solutions de ( E ) . 5 Déterminer la solution k de ( E ) vérifiant k ı 2 =0 E.3689 On considère l’équation différen-tielle: ( E ) : y − 3 y = − 3 e 1 + e − 3 x 2 On donne une fonction ’ dérivable sur R et la fonction f définie sur R par : f ( x )=e − 3 x · ’ ( x ) . 1 Montrer que f est dérivable sur R et pour tout réel x , exprimer ’ ( x ) − 3 · ’ ( x ) en fonction de f ( x ) . 2 Déterminer f de sorte que ’ soit solution de ( E ) sur R et vérifie: ’ (0)= e 2 . https://chingmath.fr sacados/3655 Extrait Antilles Guyane Juin 2008 sacados/3678 Extrait France Septembre 2005 chapExoCorrec/3684 sacados/3684 chapExoCorrec/3687 sacados/3687 Antilles-uyane Juin 2001G chapExoCorrec/3966 sacados/3966 Extrait Amerique du Sud Novembre 2007 sacados/3689 Extrait France Septembre 2003
12. Autres équations différentielles E.3676 On cherche à modéliser de deux façons différentes l’évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat, en fonction de l’année. Soit g ( x ) le nombre, exprimé en millions, de tels foyers l’année x . On pose x =0 en 2005 , g (0)=1 et g est une solution, qui ne s’annule pas sur 0 ; + ∞ de l’équation différentielle: ( E ) : y = 1 20 · y · (10 − y ) 1 On considère une fonction y qui ne s’annule pas sur 0 ; + ∞ et on pose z = 1 y a Montrer que y est solution de ( E ) si, et seulement si, z est solution de l’équation différentielle: ( E 1 ) : z = − 1 2 · z + 1 20 b Résoudre l’équation ( E 1 ) et en déduire les solutions de l’équation ( E ) . 2 Montrer que g est définie sur 0 ; + ∞ par : g ( x ) = 10 9e − 1 2 x + 1 3 Étudier les variations de g sur 0 ; + ∞ . 4 Calculer la limite de g en + ∞ et interpréter le résultat. 5 En quelle année le nombre de foyers possédant un tel équipement dépassera-t-il 5 millions? E.3691 En réalité, dans un secteur ob-servé d’une région donnée, un prédateur empêche une telle croissance en tuant une certaine quantité de rongeurs. On note u ( t ) le nombre de rongeurs vivants au temps t (exprimé en années) dans cette région, et on admet que la fonction u , ainsi définie, satisfait aux conditions : ( E 2 ) u ( x ) = u ( t ) 4 − u ( t ) 2 12 pour t ∈ R ∗ + u (0) = 1 où u désigne la fonction dérivée de la fonction u . 1 On suppose que, pour tout réel positif t , on a u ( t ) > 0 . On considère, sur l’intervalle 0 ; + ∞ , la fonction h définie par h = 1 u . Démontrer que la fonction u satisfait aux con-ditions ( E 2 ) si, et seulement, si la fonction h satisfait aux conditions : ( E 3 ) h ( t ) = − 1 4 · h ( t ) + 1 12 pour t ∈ R ∗ + h (0) = 1 où h désigne la fonction dérivée de la fonction h . 2 Donner les solutions de l’équation différentielle: y = − 1 4 · y + 1 12 et en déduire l’expression de la fonction h , puis celle de la fonction u . 3 Dans ce modèle, comment se comporte la taille de la population étudiée lorsque t tend vers + ∞ ? E.3773 On se propose de déterminer toutes les fonctions f définies et dérivables sur l’intervalle 0 ; + ∞ vérifiant l’équation différentielle: ( E ) : x · f ( x ) − (2 x + 1) · f ( x ) = 8 · x 2 1 a Démontrer que si f est solution de ( E ) alors la fonc-tion g définie sur l’intervalle 0 ; + ∞ par : g ( x ) = f ( x ) x est solution de l’équation différentielle: ( E ) : y = 2 · y + 8 b Démontrer que si h est solution de ( E ) alors la fonc-tion f définie par f ( x )= x · h ( x ) est solution de ( E ) . 2 Résoudre ( E ) et en déduire toutes les solutions de ( E ) . E.3646 1 Soit f une fonction définie et dérivable sur l’intervalle 0 ; + ∞ vérifiant pour tout nombre réel x strictement positif : xf ( x ) − f ( x ) = x 2 · e 2 x Soit g la fonction définie sur 0 ; + ∞ par : g ( x )= f ( x ) x Montrer que pour tout nombre réel x strictement positif, on a: g ( x ) = e 2 x 2 On considère la fonction h définie sur l’intervalle 0 ; + ∞ par : h ( x ) = 1 2 x e 2 x − e 2 x Déterminer, suivant les valeurs du nombre réel positif x , le signe de h ( x ) . E.3688 On appelle ( E ) l’équation différen-tielle: y  − y = 0 , où y est une fonction numérique définie et deux fois dérivable sur l’ensemble R des nombres réels. 1 Déterminer les réels r tels que la fonction h , définie par h ( x )=e r · x , soit solution de ( E ) . 2 Vérifier que les fonctions ’ définies par ’ ( x )= ¸ · e x + ˛ · e − x , où ¸ et ˛ sont deux nombres réels, sont des so-lutions de ( E ) . On admet qu’on obtient ainsi toutes les solutions de ( E ) . 3 Déterminer la solution particulière de ( E ) dont la courbe représentative passe par le point de coordonnées ln 2 ; 3 4 et admet en ce point une tangente dont le co-efficient directeur est 5 4 . 13. Cours - ancien programme: Equations différentielles https://chingmath.fr chapExoCorrec/3676 sacados/3676 chapExoCorrec/3691 sacados/3691 Extrait France Juin 2005 chapExoCorrec/3773 sacados/3773 Metropole et La reunion Septembre 2008 sacados/3646 sacados/3688
E.3283 Pré-requis: Les solutions de l’équation différentielle y = − –y sont les fonctions : x ↦−→ C e − λx où C est une constante réelle. 1 Démontrer l’existence et l’unicité de la solution z de l’équation différentielle ( E λ ): z = − ( –z +1) telle que z (0) = 1 . 2 Donner l’expression de cette fonction que l’on notera z 0 . E.3284 On considère l’équation différen-tielle ( E ) : y = 1 16 · y 1 On sait que la fonction x ↦−→ e x 16 est solution de l’équation différentielle ( E ) . Démontrer alors que l’ensemble des solutions de l’équation ( E ) est l’ensemble des fonctions, définies sur R , de la forme x ↦−→ K · e x 16 , où K est un nombre réel quelconque. 2 Démontrer qu’il existe une unique solution de l’équation différentielle ( E ) prenant la valeur − 4 en 0 . 14. Exercices non-classés E.10394 On considère la fonction f définie sur R ∗ + par : f ( x ) = 2 · x · ln( x ) La primitive F de la fonction f telle que F (1) = − 1 2 admet pour expression : a F ( x ) = x 2 · ln( x ) − 1 2 · x b F ( x ) = x · ln( x ) − 1 2 · x 2 c F ( x ) = x · ln( x ) − 1 2 · x d F ( x ) = x 2 · ln( x ) − 1 2 · x 2 E.10395 On considère la fonction f définie sur R ∗ + par : f ( x ) = x 2 − 2 · e x La primitive F de la fonction f telle que F (1) = − 1 2 admet pour expression : a F ( x ) = x 2 − 2 · e x b F ( x ) = x 2 − 2 · x · e x c F ( x ) = x 3 − 2 · e x d F ( x ) = x 3 − 2 · x · e x https://chingmath.fr chapExoCorrec/3283 sacados/3283 Extrait de France Septembre 2006 chapExoCorrec/3284 sacados/3284 sacados/10394 sacados/10395