Terminale Spécialité / Vecteurs, droites, plans dans l'espace 35 exercices corrigés

a
1. Vecteurs de l’espace E.2759 Dans l’espace, on considère le paral-lélépipède ABCDEFGH . On note I , J , K , L les milieux respectifs des arêtes [ AB ] , [ CD ] , [ EF ] , [ GH ] . 1 a Donner tous les vecteurs égaux au vecteur −→ AJ . b Donner tous les vecteurs égaux au vecteur −−→ ED . c Donner tous les vecteurs égaux au vecteur −−→ DK . 2 Donner un représentant de chaque somme suivante : a −−→ AD + −→ LF = −→ : : : b −→ DI + −−→ BF + −→ HI = 2 · −→ : : : c −−→ HB + −−→ CD = −−−→ : : : B E.2771 L’espace est muni d’un repère O ; −→ i ; −→ j ; −→ k ; ce repère et le quadrillage associé est représenté ci-dessous : Déterminer les coordonnées des points A , B , C , D , E , F , G , H . E.2760 Le cube représenté ci-dessous est com-posé de 8 petits cubes identiques et juxtaposés : 1 Dans chaque question, déterminer le vecteur, ayant pour origine A représentant la somme : a −−→ MY + −−→ KW b −→ A Ω + −→ V S + −−→ CX c −−→ Ω H + −→ ZE + −−→ QC d −→ AG + −−→ BH + −→ OI 2 Dans chaque question, déterminer le vecteur, ayant pour extrémité A , représentant la somme : a −→ U Ω + −→ V L b −→ LZ + −−→ XZ + −−→ SX c −−→ Y Q + −→ AY + −→ SA d −−→ X Ω + −−→ XH + −→ GZ https://chingmath.fr chapExoCorrec/2759 sacados/2759 ABCDEFGHIJKL chapExoCorrec/2771 sacados/2771 ijkOABCDEFGH chapExoCorrec/2760 sacados/2760 ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ
E.4180 Dans l’espace O ; −→ i ; −→ j ; −→ k , on con-sidère les cubes ci-dessous : 1 Quels points de la figure vérifient y 0 ? 2 a Le pavé droit PQJKXY ST est-il inclus dans le demi-espace défini par l’inéquation: x 0 b Le pavé droit FDBHWUSY est-il inclus dans le demi-espace défini par l’inéquation: z 0 3 Décrire les demi-espaces suivants : a x 0 b z 0 c y − z 0 2. Position relative E.6816 On considère le cube ABCDEFGH représenté ci-dessous : 1 Donner la position relative des couples de droites suiv-ants : a ( EH ) et ( BC ) b ( EB ) et ( FA ) c ( BA ) et ( EG ) d ( EC ) et ( AG ) 2 Donner la position relative des couples de droite et plan suivants : a ( EH ) et ( AFG ) b ( HD ) et ( FAG ) c ( FA ) et ( DHG ) d ( BC ) et ( HFA ) 3 Donner la position relative des plans suivants : a ( HED ) et ( BCF ) b ( HGA ) et ( DCB ) E.6817 Dans l’espace considérons le cube ABCDEFGH et les points I , J , K , L milieux respectifs des segments [ EH ] , [ CG ] , [ AB ] , [ AD ] . Donner les positions relatives des couples de droites suivantes : a ( IL ) et ( FB ) b ( AG ) et ( KJ ) c ( KL ) et ( HF ) d ( EL ) et ( HD ) https://chingmath.fr chapExoCorrec/4180 sacados/4180 BDFHIJKLMNOPQRSTUVWXY−i−j−k chapExoCorrec/6816 sacados/6816 ABCDEFGH chapExoCorrec/6817 sacados/6817 ABCDEFGHIJKL
E.2885 On considère le parallélépipède ABCDEFGH représenté ci-dessous : Notons O le milieu du segment [ AG ] : 1 Démontrer que le point O est milieu du segment [ EC ] . 2 Démontrer que le point O est milieu du segment [ HB ] . E.2775 On considère le cube ABCDEFGH et les points M et N de l’espace. 1 Supposons le point M appartenant au plan ( EFB ) ; jus-tifier que les droites ( AD ) et ( HM ) sont non coplanaires. 2 Supposons le point M appartenant au plan ( EHD ) : a Justifier que les droites ( AD ) et ( HM ) sont coplanaires. b Placer le point L intersection des droites ( AD ) et ( HM ) . 3 Suivant la position du point N dans l’espace, préciser si les droites ( GF ) et ( HN ) sont coplanaires ; si oui, placer leur point d’intersection : a N ∈ ( HEF ) b N ∈ ( HDC ) E.2795 On considère le cube ABCDEFGH . Les points K , L , M sont les milieux respectifs des arêtes [ EH ] , [ HG ] , [ EF ] . Les points P et Q représentent l’intersection de la droite ( KL ) respectivement avec les plans ( ABF ) et ( CBF ) . 1 a Justifier que le point P est l’intersection des droites ( EF ) et ( KL ) . b En déduire que le point K est le milieu du segment [ PL ] . On admet que par un raisonnement similaire, le point L est le milieu du segment [ KQ ] : 2 Justifier l’égalité vectorielle suivante : −−→ PQ = 3 2 · −→ AC https://chingmath.fr chapExoCorrec/2885 sacados/2885 ABCDEFGH chapExoCorrec/2775 sacados/2775 MNABCDEFGH chapExoCorrec/2795 sacados/2795 ABCDEFGHKLMPQ
E.585 Définition: deux droites sont coplanaires si elles apparti-ennent à un même plan. Dans le cube ABCDEFGH ci-contre : 1 Parmi les couples de droites ci-dessous, lesquelles sont coplanaires entre elles: a ( EA ) et ( FB ) b ( HE ) et ( CB ) c ( HC ) et ( AD ) d ( GA ) et ( CA ) e ( HB ) et ( DA ) Dans la question suivante, nous allons utiliser les trois défini-tions suivantes : Définitions: Deux droites sont parallèles dans l’espace si elles sont coplanaires et si elles sont parallèles dans ce plan. Deux plans sont parallèles lorsqu’ils n’ont aucun point en commun ou alors lorsqu’ils sont confondus. Une droite et un plan sont parallèles lorsque : ou bien P et Δ n’ont aucun point en commun. ou alors la droite Δ est incluse dans le plan P 2 Parmi les couples ci-dessous, lesquels définissent un cou-ple d’objets parallèles: a ( GD ) et ( AB ) b ( EB ) et ( HGC ) c ( EF ) et ( DC ) d ( BAH ) et ( GFH ) Vocabulaire : On parle de droites perpendiculaires unique-ment dans le cas de droites coplanaires. Définition: Deux droites sont orthogonales si elles sont respective-ment parallèles à deux droites perpendiculaires d’un même plan Une droite est orthogonale à un plan si elle est orthog-onale à toutes droites de ce plan. 3 Donner les couples ci-dessous qui sont orthogonaux : a ( EF ) et ( HE ) b ( DB ) et ( AB ) c ( HD ) et ( ABC ) d ( HB ) et ( BFG ) e ( AC ) et ( HDF ) f ( HF ) et ( GCF ) 3. Parallélisme E.2766 La figure ci-dessous représente la pyra-mide ABCDE à base carrée; les points I et J représentent les milieux respectifs des arêtes [ BE ] et [ CE ] . 1 Justifier que les points A , D , I , J sont coplanaires. 2 a Justifier que les droites ( AI ) et ( DJ ) sont sécantes. b On note M leur point d’intersection. Placer le point M dans la figure ci-dessus. 3 En déduire la droite d’intersection des plans ( ABE ) et ( CDE ) . 4. Repérage dans l’espace E.2814 Dans l’espace munit du repère A ; −→ i ; −→ j ; −→ k , on considère le parallélépipède rectangle ABCDEFGH et les deux points M et N . https://chingmath.fr chapExoCorrec/585 sacados/585 ABCDEFGH chapExoCorrec/2766 sacados/2766 ABCDEIJ chapExoCorrec/2814 sacados/2814
1 Déterminer les coordonnées du point M quand : a M est un point du plan ( EFB ) . b M est un point du plan ( HGD ) . 2 Déterminer les coordonnées du point N quand : a N est un point du plan ( EFH ) . b N est un point du plan ( EAD ) . E.2793 On considère le plan muni d’un repère O ; −→ i ; −→ j ; −→ k orthonormé représenté ci-dessous : On considère les trois points M , N , P : 1 a Le point M est le projeté orthogonal de M sur le plan ( Oxy ) . Déterminer les coordonnées du point M dans ce plan. b Le point N est le projeté orthogonal de N sur le plan ( Oyz ) . Déterminer les coordonnées du point N dans ce plan. c Le point P est le projeté orthogonal de P sur le plan ( Oxz ) . Déterminer les coordonnées du point P dans ce plan. 2 Déterminer les coordonnées des trois points M , N , P dans ce repère. E.2776 On munit d’un repère orthonormé dont les graduations sur les axes sont représentées ; on considère les trois points M , N , P et leurs projections respectives M , N , P sur le plan ( OIJ ) dont voici les représentations : 1 a Déterminer les coordonnées du point M appar-tenant au plan ( OIJ ) . b Donner les coordonnées du point M . 2 Déterminer les coordonnées du point N et du point P . E.4024 On considère le cube ABCDEFGH représenté ci-dessous de centre O . Déterminer les coordonnées des points de chacun des som-mets du cube ainsi que du point O dans chacun des repères suivants : a B ; −−→ BC ; −−→ BA ; −−→ BF b A ; −→ AE ; −−→ AB ; −−→ AD c O ; −−→ OF ; −−→ OG ; −−→ OE 5. Colinéarité E.2779 1 Montrer que les couples suivants de vecteurs sont col-inéaires : a −→ u 6 ; 21 ; 9 ; −→ v 4 ; 14 ; 6 b −→ u 3 ; 5 ; 4 3 ; −→ v 6 5 ; 2 ; 8 15 https://chingmath.fr ijkABCDEFGHMN chapExoCorrec/2793 sacados/2793 xyzMMNNPP chapExoCorrec/2776 sacados/2776 xyzMMNNPP chapExoCorrec/4024 sacados/4024 ABCDEFGHO chapExoCorrec/2779 sacados/2779
2 Justifier que les deux vecteurs suivants ne sont pas col-inéaires : −→ u 5 ; 8 ; 3 ; −→ v 3 ; 24 5 ; 8 5 E.2792 On considère le cube ABCDEFGH représenté ci-contre et les trois points définis par : Le point K est le milieu de [ EF ] ; le point I vérifie la rela-tion −→ AI = 1 3 ·−−→ AB ; le point J vérifie la rela-tion −→ AJ = 2 3 ·−−→ AD . En utilisant le repère A ; −−→ AB ; −−→ AD ; −→ AE , montrer que les droites ( IJ ) et ( KH ) sont parallèles. E.6880 Un catadioptre est un dispositif optique formé de trois miroirs en forme de ˇ coin de cube ı, les faces réfléchissantes tournées vers l’intérieur. On en trouve dans les réflecteurs de certains véhicules ainsi que dans les appareils de topographie. Les points O , A , B et C sont des sommets d’un cube, de telle sorte que le repère O ; −→ OA ; −−→ OB ; −−→ OC soit un repère or-thonormé. On utilisera ce repère dans tout l’exercice. Les trois miroirs du catadioptre sont représentés par les plans ( OAB ) , ( OBC ) et ( OAC ) . Les rayons lumineux sont mod-élisés par des droites. Règles de réflexion d’un rayon lumineux admises : lorsqu’un rayon lumineux de vecteur directeur −→ v a ; b ; c est réfléchi par le plan ( OAB ) , un vecteur directeur du rayon réfléchi est −→ v a ; b ; − c ; lorsqu’un rayon lumineux de vecteur directeur −→ v a ; b ; c est réfléchi par le plan ( OBC ) , un vecteur directeur du rayon réfléchi est −→ v − a ; b ; c ; lorsqu’un rayon lumineux de vecteur directeur −→ v a ; b ; c est réfléchi par le plan ( OAC ) , un vecteur directeur du rayon réfléchi est −→ v a ; − b ; c ; Propriété des catadioptres En utilisant les règles précédentes, démontrer que si un rayon lumineux de vecteur directeur −→ v a ; b ; c est réfléchi succes-sivement par les plans ( OAB ) , ( OBC ) et ( OAC ) , le rayon final est parallèle au rayon initial. E.6886 On considère la pyramide régulière SABCD de sommet S constituée de la base carrée ABCD et de triangles équilatéraux représentée ci-dessous. Le point O est le centre de la base ABCD avec OB =1 . On rappelle que le segment [ SO ] est la hauteur de la pyramide et que toutes les arêtes ont la même longueur. 1 Justifier que le repère O ; −−→ OB ; −−→ OC ; −→ OS est or-thonormé. Dans la suite de l’exercice, on se place dans le repère O ; −−→ OB ; −−→ OC ; −→ OS . 2 On définit le point K par la relation −−→ SK = 1 3 · −→ SD et on note I le milieu du segment [ SO ] . a Déterminer les coordonnées du point K . b En déduire que les points B , I et K sont alignés. c On note L le point d’intersection de l’arête [ SA ] avec le plan ( BCI ) . Justifier que les droites ( AD ) et ( KL ) sont parallèles. d Déterminer les coordonnées du point L . https://chingmath.fr chapExoCorrec/2792 sacados/2792 ABCDEFGHIKJ chapExoCorrec/6880 sacados/6880 −nOABCVue en perspective cavalière de la réπexiond’un rayon lumineux sur le plan(OAB chapExoCorrec/6886 sacados/6886 Extrait d'Antilles-Guyane Juin 2016 ABCDOIS
6. Les objets des l’espace E.579 Vérifier que sur les deux dessins ci-dessous, A et B sont les points d’intersection respectivement des droites ( d ) et ( d ) avec le plan ( P ) E.588 Répondre par oui ou non aux questions suivantes : 1 Deux points définissent toujours une unique droite? 2 Trois points définissent toujours un unique plan? 3 L’intersection de deux plans est un point? E.581 Dans l’espace, on considère le cube ABCDEFGH dont la représentation est donnée ci-dessous : Dans la représentation suivante, I est un point appartenant à la droite ( GH ) et J appartient à la droite ( AB ) . Quatre affirmations sont proposées ci-dessous. Dire si cha-cune de ces propositions est vrai ou fausse en justifiant votre réponse. 1 Le triangle EHD rectangle en H . 2 Les droites ( AC ) et ( GH ) sont sécantes en I . 3 Le quadrilatère BCHE est un rectangle. 4 J est le point d’intersection de ( CG ) et ( AB ) . E.587 On considère dans l’espace un plan ( P ) et A , B , C n’appartenant pas à ce plan et non-alignés. On note : A le point d’intersection de la droite ( BC ) avec ( P ) ; B le point d’intersection de la droite ( AC ) avec ( P ) ; C est le point d’intersection de la droite ( AB ) avec ( P ) ; Démontrer que les points A , B et C sont alignés. E.584 Dans l’espace, on considère un plan ( P ) et deux droites ( d ) et ( d ) parallèles. A et B sont respective-ment des points des droites ( d ) et ( d ) . On nomme A et B les points d’intersections respectifs des droites ( d ) et ( d ) avec le plan ( P ) . 1 Justifier que les points A , B , A et B sont coplanaires. 2 Justifier que, sur le graphique, les droites ( AB ) et ( A B ) ne sont pas parallèles. 3 Placer, dans la figure, le point d’intersection des droites ( AB ) et ( A B ) . 7. Règles d’incidence E.2768 ABCDEFGH est un cube ; on consid-ère le plan ( P ) dont la section avec le cube est le quadrilatère IJKL https://chingmath.fr chapExoCorrec/579 sacados/579 (d(dAB (d(dAB chapExoCorrec/588 sacados/588 chapExoCorrec/581 sacados/581 ABCDEFGHIJ chapExoCorrec/587 sacados/587 PABCABC chapExoCorrec/584 sacados/584 P(d(dABAB chapExoCorrec/2768 sacados/2768 PABCDEFGHIJLK
Justifier que IJKL est un parallélogramme. E.6885 ABCDEFGH est un cube d’arête égale à 1 . Soit I le milieu de [ AB ] . Soit P le plan parallèle au plan ( BGE ) et passant par le point I . On admet que la section du cube par le plan P représentée ci-dessus est un hexagone dont les sommets I , J , K , L , M et N appartiennent respectivement aux arêtes [ AB ] , [ BC ] , [ CG ] , [ GH ] , [ HE ] et [ AE ] . Montrer que le point N est le milieu du segment [ AE ] . 8. Théorème du toit E.5404 On considère la pyramide ABCDE , représentée ci-dessous, à base carrée: 1 Déterminer la position de la droite ( d ) intersection des plans ( ABE ) et ( CDE ) . 2 Représenter la droite ( d ) . E.2796 On considère le cube ABCDEFGH . Les points I , J , K , L sont les milieux respectifs des arêtes [ AD ] , [ DC ] , [ EH ] , [ HG ] . Le point Q est le point d’intersection de la droite ( KL ) et du plan ( CBF ) . Le point S est le point d’intersection de la droite ( IJ ) et du plan ( CBF ) . 1 Placer les points Q et S sur la figure. 2 Justifier que les droites ( QB ) et ( FS ) sont coplanaires et sécantes. On note M leur point d’intersection. 3 En déduire le tracé de la droite ( d ) intersection des plans ( KLB ) et ( FIJ ) . 9. Exercices non-classés https://chingmath.fr chapExoCorrec/6885 sacados/6885 ABCDEFGHIJKLMN chapExoCorrec/5404 sacados/5404 ABCDE chapExoCorrec/2796 sacados/2796 ABCDEFGHIJKL
E.6818 On considère le cube ABCDEFGH représenté ci-dessous : On note I et J les milieux respectifs des segments [ AE ] et [ BC ] . Parmi les quatre affirmations ci-dessous, une seule est exacte. Indiquer laquelle et justifier votre choix. a Les droites ( IJ ) et ( EC ) sont strictement parallèles. b Les droites ( IJ ) et ( EC ) sont non coplanaires. c Les droites ( IJ ) et ( EC ) sont sécantes. d Les droites ( IJ ) et ( EC ) sont confondues. E.4913 On considère la pyramide ABCDE à base rectangulaire ABCD représentée ci-dessous : On note I et J les milieux respectifs des segments [ EB ] et [ EC ] , et O le centre du rectangle ABCD . 1 a Justifier que les droites ( IJ ) et ( BC ) sont parallèles. b Justifier que les droites ( IJ ) et ( AD ) sont parallèles. 2 Justifier que la droite ( AD ) est parallèle au plan ( OIJ ) . E.4948 Soit ( P ) et ( P ) deux plans sécants. Soient I , J deux points du plan ( P ) et K un point du plan ( P ) . Tracer la droite d’intersection des plans ( P ) et ( IJK ) . Jus-tifier votre démarche. E.4942 On considère le cube ci-dessous où les points I , J , K et L sont les milieux respec-tifs des segments [ AB ] , [ AD ] , [ HG ] et [ GF ] . 1 Justifier que les droites ( IJ ) et ( BD ) sont par-allèles. 2 a Justifier que les points H , D , B et F sont coplanaires. b Justifier que les droites ( HF ) et ( DB ) sont paral-lèles. c Démontrer que les points I , J , K , L sont coplanaires. 3 Quelle est la nature du quadrilatère IJKL ? https://chingmath.fr chapExoCorrec/6818 sacados/6818 Extrait d'Antilles-Guyanne Juin 2013 ABCDEFGHIJ chapExoCorrec/4913 sacados/4913 OIJABCDE chapExoCorrec/4948 sacados/4948 IJKPP chapExoCorrec/4942 sacados/4942 ABCDEFGHIJKL
E.580 Dans l’espace, on considère le paral-lélépipède ABCDEFGH . On note I et J les milieux respec-tifs des arêtes [ EF ] et [ FG ] . On note K l’intersection des droites ( AE ) et ( BI ) ; on note L le point d’intersection des droites ( BJ ) et ( CG ) . 1 Justifier que les points I , J , K et L appartiennent à un même plan. 2 Démontrer que les droites ( IJ ) et ( KL ) sont parallèles. E.583 Dans l’espace, on considère la pyramide ABCDE à base carrée; on note I et J les milieux respectifs des arêtes [ EB ] et [ EC ] : 1 a Démontrer que les points A , D , I et J sont coplanaires. b Démontrer, sans utiliser aucun argument graphique, que les droites ( AI ) et ( DJ ) sont sécantes. c On note M le point d’intersection des droites ( AI ) et ( DJ ) . Placer le point M sur le graphique. 2 a Démontrer que le point M appartient au plan ( AEB ) et ( DEC ) . b En déduire que la droite ( EM ) est la droite d’intersection des plans ( AEB ) et ( DEC ) . 3 En déduire que ( EM ) est parallèle à la base ABCD de la pyramide. E.5503 Dans l’espace, on considère deux plans ( P 1 ) et ( P 2 ) contenant respectivement les droites ( d 1 ) et ( d 2 ) parallèles entre elles. Si les plans ( P 1 ) et ( P 2 ) sont sécants entre eux alors les droites ( d 1 ) et ( d 2 ) sont parallèles à la droite d’intersection de ces deux plans. https://chingmath.fr chapExoCorrec/580 sacados/580 ABCDEFGHIJKL chapExoCorrec/583 sacados/583 ABCDIJE chapExoCorrec/5503 sacados/5503 (d1(d2P1P2