Terminale STMG / Suite 25 exercices corrigés

a
1. Rappels E.11877 Dans cet exercice, les termes des suites ont pour rang un entier n positif ou nul ( n ∈ N ) . 1 Déterminer les quatre premiers termes de la suite u n arithmétique de premier terme 3 et de raison − 0 ; 75 . 2 Déterminer les quatre premiers termes de la suite v n géométrique de premier terme 5 et de raison 0 ; 2 . E.11878 On considère la suite u n arithmétique de premier terme 10 et de raison 3 . 1 Donner la valeur de u 4 (le terme de rang 4 de la suite u n ) . 2 Donner la valeur de u 100 (le terme de rang 100 de la suite u n ) . 2. Introduction somme des termes d’une suite arithmétique E.11823 On considère la suite u n arithmétique de premier terme 5 et de raison 2. 1 Compléter le tableau. 2 Déterminer la valeur des sommes : u 0 + u 5 = : : : u 1 + u 4 = : : : u 2 + u 3 = : : : 3 Comment peut-on déterminer la somme de tous ses ter-mes : S = u 0 + u 1 + u 2 + u 3 + u 4 + u 5 E.11824 On considère la suite u n arithmétique de premier terme 2 et de raison 4. 1 Compléter le tableau. 2 Déterminer la valeur des sommes : u 0 + u 7 = ::: u 1 + u 6 = ::: u 2 + u 5 = ::: u 3 + u 4 = ::: 3 Comment peut-on déterminer la somme de tous ses ter-mes : S = u 0 + u 1 + u 2 + u 3 + u 4 + u 5 + u 6 + u 7 E.11825 On considère la suite arithmétique de premier terme 4 et de raison 1,5. 1 Déterminer les six premiers termes de la suite u n 2 Déterminer la somme des six premiers termes de la suite u n . E.11826 On considère la suite arithmétique de premier terme 1 et de raison 3. 1 Déterminer les six premiers termes de la suite u n 2 Déterminer la somme des six premiers termes de la suite u n . E.11843 On considère la suite u n de premier terme 1 et de raison 3 . On souhaite déterminer la valeur de la somme : S = u 0 + u 1 + · · · + u 36 + u 37 1 Compléter le tableau : 2 En déduire la valeur de S . E.11844 On considère la suite u n de premier terme 5 et de raison 2 . On souhaite déterminer la valeur de la somme : S = u 0 + u 1 + · · · + u 36 + u 37 1 Compléter le tableau : 2 En déduire la valeur de S . https://chingmath.fr chapExoCorrec/11877 sacados/11877 sacados/11878 chapExoCorrec/11823 sacados/11823 nun012345 chapExoCorrec/11824 sacados/11824 nun01234567 chapExoCorrec/11825 sacados/11825 chapExoCorrec/11826 sacados/11826 chapExoCorrec/11843 sacados/11843 ::::::nun013637 sacados/11844 ::::::nun019899
E.11874 On considère la suite u n arithmétique de premier terme 3 et de raison 4 . On souhaite déterminer la valeur de la somme : S = u 0 + u 1 + · · · + u 34 + u 35 1 Déterminer la valeur de u 35 (le terme de rang 35 de cette suite) . 2 Compléter le tableau : 3 a Combien de termes contient la somme S ? b En déduire la valeur de S . 3. Nombre de termes dans une suite E.11840 On considère une suite u n n ∈ N . Déter-miner le nombre de termes de chacune des sommes ci-dessous : a u 0 + u 1 + u 2 + u 3 + u 4 + u 5 + u 6 + u 7 + u 8 b u 5 + u 6 + u 7 + u 8 + u 9 + u 10 + u 11 + u 12 c u 11 + u 12 + u 13 + : : : + u 25 + u 26 d u 8 + u 9 + u 10 + · · · + u 31 + u 32 E.11841 Soit u n n ∈ N une suite numérique. Pour chacune des questions, donner le nombre de termes com-posant la somme : a u 0 + u 1 + · · · + u 32 b u 5 + u 6 + · · · + u 15 c u 0 + u 1 + · · · + u n d u 5 + u 6 + · · · + u n E.11842 Soit u n n ∈ N une suite numérique. On considère les trois sommes ci-dessous : a 64 k =0 u k b 16 k =0 u k c 35 k =0 u k 1 Combien de termes contient chacune de ces sommes? 2 Ecrire ces sommes sans le symbole et à l’aide de pointillés. E.11845 Soit u n n ∈ N une suite numérique. On considère les trois sommes ci-dessous : a 10 k =4 u k b 30 k =15 u k c 40 k =10 u k 1 Combien de termes contient chacune de ces sommes? 2 Ecrire ces sommes sans le symbole et à l’aide de pointillés. E.11873 Soit u n n ∈ N une suite numérique. Pour chacune des sommes, donner le nombre de termes : 1 a u 0 + u 1 + · · · + u 45 b u 5 + u 6 + · · · + u 30 2 a 10 k =0 u k b 20 k =12 u k 4. Somme des termes d’une suite arithmétique E.11846 On considère la suite u n arithmé-tique de premier terme 3 et de raison 5 . Déterminer la somme S de ses 33 premiers termes : S = u 0 + u 1 + · · · + u 32 E.11852 On considère la suite u arithmé-tique de premier terme 4 et de raison 1. Déterminer la somme S des mille premiers termes de la suite : S = u 0 + u 1 + · · · + u 999 E.11847 On considère la suite u n , définie pour tout n ∈ N , arithmétique de premier terme − 10 et de raison 3 . Déterminer la valeur de la somme S définie par : S = u 0 + u 1 + · · · + u 84 E.11848 On considère la suite v n définie pour tout entier n naturel par : v n = 4 + 3 · n Déterminer la somme S des 20 premiers termes de la suite v n . E.11875 On considère la suite u n arithmétique de premier terme 6 et de raison 2 , et la somme S définie par : S = u 0 + u 1 + · · · + u 40 1 Déterminer la valeur de u 40 (terme de rang 40 de la suite u n ) . 2 Combien de termes contient la somme S ? 3 Déterminer la valeur de la somme S . 5. Application aux intérêts simples https://chingmath.fr sacados/11874 ::::::nun013435 chapExoCorrec/11840 sacados/11840 chapExoCorrec/11841 sacados/11841 chapExoCorrec/11842 sacados/11842 chapExoCorrec/11845 sacados/11845 sacados/11873 chapExoCorrec/11846 sacados/11846 chapExoCorrec/11852 sacados/11852 chapExoCorrec/11847 sacados/11847 chapExoCorrec/11848 sacados/11848 sacados/11875
E.11849 Une entreprise souhaite acheter un véhicule utilitaire dans quelques mois. En attendant, elle place chaque mois 500 e sur un placement rémunéré au taux de 1 % par mois à intérêts simples. Le premier dépôt est ef-fectué au début du mois de janvier. On étudie la situation au début du mois de juillet, juste après le sixième dépôt. 1 Compléter le tableau donnant la valeur acquise par cha-cun des dépôts au début du mois de juillet. Dépôt effectué au début du mois Janvier Février Mars Avril Mai Juin Juillet Nombre de mois de placement Valeur acquise 2 Justifier que les valeurs acquises par les différents dépôts forment une suite arithmétique. On précisera son pre-mier terme et sa raison. 3 Déterminer la somme totale disponible au début du mois de juillet. E.11850 Une association prépare un événement qui aura lieu dans quelques mois. Afin de constituer progres-sivement une réserve financière, elle place 800 e au début de chaque mois sur un placement rémunéré au taux de 0 ; 5 % par mois à intérêts simples. Le premier dépôt est effectué au début du mois de septembre. On étudie la situation au début du mois de mars, juste après le septième dépôt. 1 Compléter le tableau donnant la valeur acquise par cha-cun des dépôts au début du mois de mars. Dépôt effectué au début du mois Sept Octo. Nov. Déc. Janv. Fév. Mars Nombre de mois de placement Valeur acquise 2 Justifier que les valeurs acquises par les différents dépôts forment une suite arithmétique. On précisera son pre-mier terme et sa raison. 3 Déterminer la somme totale disponible au début du mois de mars. E.11851 Une entreprise souhaite constituer pro-gressivement une réserve pour financer le renouvellement de son matériel informatique. Elle décide de placer 800 e au début de chaque mois sur un placement rémunéré au taux de 0 ; 5% par mois à intérêts sim-ples. Le premier dépôt est effectué au début du mois de janvier. On étudie la situation au début du mois de juillet, juste après le septième dépôt. On note u n la valeur acquise, au début du mois de juillet, par le dépôt effectué nn mois auparavant. 1 Déterminer u 0 , puis u 1 . 2 Montrer que la suite ( u n ) est une suite arithmétique. Pré-ciser son premier terme et sa raison. 3 Déterminer u 6 , puis interpréter la valeur u 6 . 4 L’entreprise dispose au début du mois de juillet de la somme correspondant à l’ensemble des sept dépôts. Cal-culer cette somme. 5 Déterminer le montant total des intérêts produits par les sept dépôts. E.11876 Lina, élève de Terminale, travaille le week-end dans une enseigne de restauration rapide. Elle souhaite financer son permis de conduire après l’obtention de son baccalauréat. Pour cela, elle place 150 e au début de chaque mois sur un livret rémunéré au taux de 1 % par mois à intérêts simples. Le premier dépôt est effectué au début du mois d’octobre. On étudie la situation au début du mois d’avril, juste après le septième dépôt. 1 Compléter le tableau donnant la valeur acquise par cha-cun des dépôts au début du mois d’avril. Dépôt effectué au début du mois Octo Nov Déc Jan Févr Mars Avril Nombre de mois de placement Valeur acquise 2 Justifier que les valeurs acquises par les différents dépôts forment une suite arithmétique. On précisera son pre-mier terme et sa raison. 3 Déterminer la somme totale disponible au début du mois d’avril. 6. Exercices non-classés E.11818 Fibonacci (1170-1250)) comptait ses lap-ins par couple (un mâle et une femelle). Le premier mois le couple ne peut pas se reproduire. Le deuxième mois, le couple donne naissance à un couple de lapins qui ne pourra se repro-duire que leur deuxième mois de vie. Il recueille les données (fictives) suivantes : https://chingmath.fr chapExoCorrec/11849 sacados/11849 chapExoCorrec/11850 sacados/11850 sacados/11851 sacados/11876 sacados/11818 0 mois1 mois2 mois3 mois4 moisJeunesAdultes
Pour modéliser ce problème par une suite, on la note u n , où n est un entier naturel et où u n est le nombre de couple de lapin au bout de n mois. 1 Compléter le tableau : n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 u n 2 Quelle relation avez-vous utiliser pour compléter ce tableau. Remarque: La suite de Fibonacci est un exemple célèbre de modélisation de la reproduction des lapins dans un éle-vage. E.180 Fibonacci est un mathématicien italien du 13ième siècle. Il est notamment connu pour avoir défini une suite de nombres (appelée suite de Fibonacci) ayant une impli-cation forte dans certains phénomènes de modélisation : mod-èle mathématique, étude de la prolifération de bactérie. Nous allons étudier le déplacement d’une grenouille pour met-tre en place cette suite de nombres. On considère une rivière où une grenouille veut se déplacer de nénuphars en nénuphars ; elle peut : soit passer d’un nénuphar à un suivant ; soit sauter par-dessus un nénuphar pour atteindre di-rectement le suivant. Lorsque 6 nénuphars sont alignés, voici les huit trajets possi-bles que la grenouille peut emprunter pour passer du premier nénuphar au dernier. 1 a Donner le nombre de chemins différents que peut prendre la grenouille lorsque son chemin est constitué de : 2 nénuphars ; 3 nénuphars 4 nénuphars ; 5 nénuphars Dans chaque cas, faire un dessin représentant tous les chemins possibles. b Dans le cas où le chemin est constitué de 6 nénuphars, le schéma précédent indique que 8 trajets distincts sont possibles. Comment peut-on retrouver le nombre 8 avec les résultats de la question a . Justifier votre raisonnement. c En déduire le nombre de trajets possibles lorsque le chemin est composé de 10 nénuphars. 2 On note F n le nombre de trajets possibles lorsque le chemin est composé de n nénuphars. Donner une rela-tion entre F n , F n − 1 et F n − 2 . Cette suite de nombre s’appelle la suite des nombres de Fi-bonacci. https://chingmath.fr sacados/180 1erchemin2ndchemin3ièmechemin4ièmechemin5ièmechemin6ièmechemin7ièmechemin8ièmechemin1ernénuphar2ndnénuphar3ièmenénuphar4ièmenénuphar5ièmenénuphar6ièmenénuphar